Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika

Aritmetická posloupnost a aritmetická řada

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 69 548

Vysvětlíme si pojem aritmetická posloupnost a aritmetická řada a naučíme se s nimi pracovat.


Aritmetická posloupnost je posloupnost čísel, ve které je mezi každým členem a jeho následovníkem nenulový konstantní rozdíl. Tento rozdíl značíme obvykle a nazýváme ho diference.

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 53, 70, ...

Předchozí posloupnost je aritmetická, protože rozdíl dvou sousedících členů je .

Předpis pro aritmetickou posloupnost by tedy mohl vypadat takto:

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ..., a+nd
  • Rekurentní zadání:
  • Vyjádření n-tého členu:
  • Vyjádření s-tého členu pomocí r-tého:

1) Určete pátý člen posloupnosti, jestliže .

V tomto příkladě nejde o nic jiného než o pouhé dosazení do vzorce pro vyjádření n-tého členu.


2) Určete , jestliže víte, že a



Aritmetická posloupnost

Pokud není aritmetická posloupnost konstantní (tedy ), je aritmetická posloupnost vždy divergentní.

  • Pro d > 0: Posloupnost je zdola omezená, rostoucí a
  • Pro d < 0: Posloupnost je shora omezená, klesající a

Speciální případ je d = 0. V takovém případě je aritmetická posloupnost omezená a konstantní

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti se označuje jako aritmetická řada.

Pro aritmetickou řadu platí podobné vlastnosti jako pro aritmetickou posloupnost. Pro je aritmetická řada divergentní.

My ale ovšem můžeme chtít spočítat součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti.


3) Určete , platí-li .

Stačí najít a můžeme dosadit do předchozího vzorečku.


Můžeme dosazovat:


4) Stavíte střechu a víte, že v první řadě bude jedna taška, v každé další bude o jednu víc. Celkem bude potřeba 10 řad. Kolik bude potřeba tašek?




Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Najděte asymptoty se směrnicí funkce


Hlavolam

Tři cestovatelé a tři jejich sluhové byli na výpravě po Indii. Jedno dne večer se šel ještě jeden z cestovatelů projít ven, když zaslechl, jak se sluhové radí, že své pány přepadnou zabijí a okradou. Jen musí počkat, až se nějakou náhodou cestovatelé rozdělí, aby sluhů na ně bylo víc. Cestovatelé totiž byli dobře ozbrojeni. Když to vyslechl, vrátil se zpět a než aby tropil rozruch, nechal si to pro sebe a dával jen pozor, aby se nikdy nerozdělili. Jenže druhého dne došli k řece, kterou bylo nutné překonat. Do pramice, jenž byla přivázána u břehu se však vešli jen dvě osoby. Jak to jen zařídit, aby ani na chvíli nebyl počet sluhů na kterémkoliv z břehů větší než počet cestovatelů?