Neurčitý integrál

Vydáno dne 2. 12. 2010 v kategorii Reálná analýza; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 48 740

O derivování se říká, že to je mechanická činnost, integrování se říká umění.

Integrování je postup opačný derivování. Pomocí integrálů se dá například spočítat plochu pod křivkou nebo odvodit vzorec pro výpočet objemu koule. Na rozdíl od derivování, kde obvykle vede pouze jedna cesta k cíli, je integrování značně náročnější a neexistuje žádný obecný postup pro výpočet integrálu - musí se vyzkoušet několik metod a některou z nich snad danou funkci zintegrujete :-)

Primitivní funkce

Jestliže je funkce diferencovatelná na svém definičním oboru (a, b) , kde $a \ge -\infty$ a $b \le \infty$ a $a \lt b$ , nazýváme primitivní funkci F(x) takovou funkci, že pro každé x z (a, b) platí:

F'(x) = f(x)

Množinu všech primitivních funkcí k funkci $f(x) nazýváme$ neurčitým integrálem a značíme jej $\int f(x)\mathrm{d}x$

1) Nalezněte primitivní funkci k funkci f(x) = 2x .

Jinými slovy máme najít takovou funkci, kterou když zderivujeme, získáme f(x) = 2x . Člověk, který už někdy derivoval, vidí, že se pravděpodobně jedná o funkci F_1(x)=x^2 . Tato odpověď je skoro správná. Totiž, co kdyby primitivní funkce byla rovna F_2(x)=x^2+1 ? Derivace F_2 bude stejná jako derivace F_1 , ale $F_1 \ne F_2$ .

A takovýchto primitivních funkcí bychom mohli nalézt nekonečně mnoho, budou se lišit pouze o nějakou konstantu. Tuto konstantu většinou pojmenováváme jako $\mathrm{C}$ a píšeme $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+\mathrm{C}$

Tabulkové integrály

Podobně jako pro derivování, i pro integrování existuje celá řada pravidel, kterými se při výpočtu musíme řídit.

$\int0\mathrm{d}x$
$\int a\mathrm{d}x$	$ax+\mathrm{C}$
$\int x^n\mathrm{d}x$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}$ pro $n\in \mathbb{R}, n\ne-1$ a $x\gt0$ . Pro přirozená `n` platí pro všechna `x`
$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$	$\ln\|x\|+\mathrm{C}$ pro $x\ne0$
$\int\mathrm{e}^x\mathrm{d}x$	$\mathrm{e}^x+\mathrm{C}$
$\int a^x\mathrm{d}x$	$\frac{a^x}{\ln a}$ pro $a\gt0,\ a\ne1$
$\int \sin{x}\mathrm{d}x$	$-\cos{x}+\mathrm{C}$
$\int \cos{x}\mathrm{d}x$	$\sin{x}+\mathrm{C}$
$\int \frac{1}{\sin^2x}\mathrm{d}x$	$-\mathrm{cotg}x+\mathrm{C}$
$\int\frac{1}{\cos^2x}$	$\mathrm{tg}x+\mathrm{C}$
$\int \frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x$	$\mathrm{arctg}x+\mathrm{C}=-\mathrm{arcotg}x+\mathrm{C}$
$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$	$\mathrm{arcsin}x+\mathrm{C}=-\mathrm{arccos}x+\mathrm{C}$

Dále existují dvě pravidla:


, kde k je konstanta

Jednoduché integrály

Začneme opravdu těmi nejlehčími příklady, kde využijeme znalosti tabulkových integrálů.

2) Vypočítejte: $\int2\mathrm{d}x$ :

Podíváme-li se na tabulku integrálů, odpovídá tomuto příkladu druhý řádek tabulky: $\int \mathrm{a}\mathrm{d}x=\mathrm{a}x+\mathrm{C}$ . Logicky proto výsledek tohoto příkladu je $\int2\mathrm{d}x=2x+\mathrm{C}$

3) Najděte neurčitý integrál funkce f(x)=2x+1 .

Na tento integrál nejprve aplikujeme pravidlo $\int \left[f(x)\pm g(x)\right]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x \pm \int g(x)\mathrm{d}x$ .

Výpočet druhého integrálu je variací na předchozí příklad a první integrál se vypočte podle pravidla z třetího řádku tabulky.

Můžeme to, co nám vyšlo ověřit zkouškou - když zderivujeme výsledek, musíme dostat původní funkci.

4) Vypočítejte integrál $\int\left(4x^3+\frac{1}{2}x^2-4x+1\right)\mathrm{d}x$ .

5) V některých případech budeme muset přistoupit k úpravě výrazu před tím, než ho budeme moc integrovat. Podobně tomu bude tehdy, budeme-li integrovat funkci $\frac{x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{-3}}{x^2\cdot x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nejprve musíme výraz upravit:

Nyní můžeme příklad zintegrovat bez nějakých větších problémů:

6) Vypočítejte: $\int\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\sqrt{x\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ .

Při zjednodušování některých výrazů se neobejdeme bez znalosti dělení mnohočlenů (přejít na článek Dělení mnohočlenů). Tuto metodu můžeme ale použít pouze tehdy, je-li nejvyšší exponent čitatele větší nebo roven nejvyššímu exponentu jmenovatele.

7) Spočítejte: $\int \frac{x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x$ .

Zatím byste si poradili pouze s těmi jednoduššími integrály. Pro výpočet těch složitějších je třeba využít komplikovanější metody výpočtu - Substituční metoda, Metoda per partes, Parciální zlomky.

V tomto článku jsme se zabývali neurčitým integrálem. Jak už z názvu vyplývá, pravděpodobně bude existovat něco jako určitý integrál. A opravdu tomu tak je. Využití určitého integrálu je různé, dá se například spočítat délka křivky grafu, určit objem rotačního tělesa vzniknuvšího rotací funkce kolem osy x (dá se tak například odvodit vzoreček pro objem koule) a spousta dalšího.

Neurčitý integrál

Primitivní funkce

Tabulkové integrály

Jednoduché integrály

Test

Hlavolam