Články » SŠ Matematika

Pascalův trojúhelník

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 24 119

Pascalův trojúhelník je geometrické uspořádání binomických koeficientů do tvaru trojúhelníku.


Pascalův trojúhelník je pojmenován po matematikovi Blaisu Pascalovi. Tímto tématem se ale zajímali jiní matematici v Indii, Persii, Číně a Itálii několik století před tím, než se Pascal vůbec narodil. Sestrojení tohoto trojúhelníku je velmi jednoduché. Jednotlivá pole trojúhelníku se musejí vyplnit podle pravidla, že každé číslo je součtem dvou políček nad daným číslem. Na první řádek napíšeme číslo jedna. Nyní musíme vytvořit řadu číslo dvě. Ta se bude skládat ze dvou polí. Jelikož máme danou hodnotu najít tak, že sečteme dvě pole nad daným polem, musíme si na prvním řádku přestavit dvě nuly. Druhý řádek je tvořen dvěma jedničkami. Další řádek končí a začíná jedničkou (takto končí a začíná každý řádek) a uprostřed bude číslo dvě.

Tato konstrukce využívá Pascalovo pravidlo, které říká, že

kde n a k jsou nezáporná celá čísla, nk a počáteční hodnota je:

Vlastnosti

  1. Diagonální řady na krajích jsou tvořeny pouze číslem jedna (jedná se pouze o dvě diagonály).
  2. Diagonální řady vedle krajních řad jsou tvořeny seřazenými přirozenými čísly.
  3. Jak postupujeme dovnitř, další dvě řady jsou tvořeny trojúhelníkovými čísly.

Sierpinskiho trojúhelník

Pokud v Pascalově trojúhelníku vybarvíme pouze lichá čísla, získaný výsledek je velmi podobný fraktálu pojmenovaném Sierpinskim. Ono obecně, pokud vybarvíme čísla podle toho, zda jsou dělitelná třemi, čtyřmi atd...

Pokud například vybarvíme čísla, která nejsou dělitelná třemi, získáme následující obrázek:


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Jsou dány vektory , a . Najděte vektor .


Hlavolam

Byl jednou jeden mladý kouzelník a ten se šíleně zamiloval do jediné dcery krále, kterému sloužil. Ta ho taky hrozně milovala (dokázal jí kdykoliv vykouzlit květiny :-). Ale otec král tomu vůbec nepřál. Chtěl pro svou dceru nějakého urozeného a bohatého ženicha a ne takového nekňubu, jako byl kouzelník (jak si myslel). Intrikami, se mu ho podařilo křivě obvinit z krádeže a uvrhnout do žaláře. Ale kouzelník byl moc populární mezi lidem a tak ho nemohl dát jen tak jednoduše popravit, jak by rád. Vymyslel tedy na něj lest: u soudu mu dal možnost losování vlastní smrti. Řekl: "Zde v klobouku jsou dvě kuličky: černá a bílá. Vylosuješ-li si bílou, budeš žít. Ale vytáhneš-li z klobouku černou, zemřeš." Vypadalo to jako férová šance, ale král, který nechtěl nic riskovat, mu tam dal obě kuličky černé. Kouzelník naštěstí nebyl hloupý a dovtípil se to. Jak to jenom navléct, aby přežil ...