Články » SŠ Matematika

Pascalův trojúhelník

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 22 875

Pascalův trojúhelník je geometrické uspořádání binomických koeficientů do tvaru trojúhelníku.


Pascalův trojúhelník je pojmenován po matematikovi Blaisu Pascalovi. Tímto tématem se ale zajímali jiní matematici v Indii, Persii, Číně a Itálii několik století před tím, než se Pascal vůbec narodil. Sestrojení tohoto trojúhelníku je velmi jednoduché. Jednotlivá pole trojúhelníku se musejí vyplnit podle pravidla, že každé číslo je součtem dvou políček nad daným číslem. Na první řádek napíšeme číslo jedna. Nyní musíme vytvořit řadu číslo dvě. Ta se bude skládat ze dvou polí. Jelikož máme danou hodnotu najít tak, že sečteme dvě pole nad daným polem, musíme si na prvním řádku přestavit dvě nuly. Druhý řádek je tvořen dvěma jedničkami. Další řádek končí a začíná jedničkou (takto končí a začíná každý řádek) a uprostřed bude číslo dvě.

Tato konstrukce využívá Pascalovo pravidlo, které říká, že

kde n a k jsou nezáporná celá čísla, nk a počáteční hodnota je:

Vlastnosti

  1. Diagonální řady na krajích jsou tvořeny pouze číslem jedna (jedná se pouze o dvě diagonály).
  2. Diagonální řady vedle krajních řad jsou tvořeny seřazenými přirozenými čísly.
  3. Jak postupujeme dovnitř, další dvě řady jsou tvořeny trojúhelníkovými čísly.

Sierpinskiho trojúhelník

Pokud v Pascalově trojúhelníku vybarvíme pouze lichá čísla, získaný výsledek je velmi podobný fraktálu pojmenovaném Sierpinskim. Ono obecně, pokud vybarvíme čísla podle toho, zda jsou dělitelná třemi, čtyřmi atd...

Pokud například vybarvíme čísla, která nejsou dělitelná třemi, získáme následující obrázek:


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočítejte


Hlavolam

Dvě města A a B jsou od sebe vzdálena 90km. Z města A do města B vyjede vlak rychlostí 60km/h. V tu samou chvíli vyjede z města B vlak do města A po té samé koleji (na ty nádražáky už vážně není vůbec spolehnutí) stejnou rychlostí. Ve chvíli, kdy se vlaky rozjedou vstříc jisté zkáze, z předního okna (u strojvůdce) vlaku jedoucího z A do B vystartuje moucha cestovatelka rychlostí 100km/h a letí vstříc druhému vlaku. Ve chvíli, kdy k němu doletí, dotkne se nožkou jeho předního skla a letí zpátky. Takto moucha lítá mezi vlaky než jí rozmáčknou na placku. Úkolem je zjistit (samozřejmě z hlavy), kolik kilometrů moucha celkem nalétala.