Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Aritmetika

Nejmenší společný násobek

Vydáno dne v kategorii Aritmetika; Autor: ; Počet přečtení: 89 555

Nejmenší společný násobek je potřebný hlavně při převádění zlomků na společného jmenovatele.


Takže, nejmenší společný násobek (dále již jen NSN) čísel z množiny X je číslo, které je dělitelné všemi čísly z množiny X. Také je možné říci, že je celočíselným násobkem všech těchto čísel. NSN se používá, jak už bylo řečeno v úvodu článku, hlavně při operaci se zlomky, tedy při převádění na společného jmenovatele.

Předchozí definice může vypadat složitě, ale opravdu tomu tak není. Snad to lépe pochopíte z příkladu. Určete NSN čísel 2, 5. Pochopitelně se jedná o číslo 10. Číslo 10 je totiž dělitelné dvěma i pěti. Samozřejmě bychom našli další čísla, které by této podmínce vyhovovala, ale nás zajímá nejmenší společný násobek. Možná vám vrtá hlavou, zda je nějaká metoda, jakou se dá NSN určit. Ano, takových metod je víc a za chvíli si ukážeme jak na to.

Určování NSN

Nyní se naučíme určovat NSN pomocí prvočíselného rozkladu (přejít na článek Prvočíselný rozklad). Tato metoda je poměrně časově náročná. Budeme hledat NSN čísel 16, 18.

Tyto čísla si napíšeme pod sebe a za ně napíšeme jejich prvočíselný rozklad.

16=24
18=32*21

Nyní, když máme prvočíselný rozklad napsaný, není problém určit NSN. Výsledek je součin čísel, které se vyskytují v rozkladu prvního nebo druhého čísla a u každého z nich použiji maximální mocninu, ve které se vyskytuje Takže NSN čísel 16, 18 je:

NSN(16, 18) = 24*32 = 144

Vidíte, je to celkem lehké. Vyzkoušíme si to ještě na několika případech:

NSN(18, 14, 6)
18=21*32
14=21*71
6=21*31
NSN(18, 14 ,16) = 21*32*71 = 126

NSN(12, 28 ,32)
12=22*31
28=22*71
32=25
NSN(12, 28, 32) = 25*31*71 = 672

NSN(2, 10, 64)
2=21
10=21*51
64=26
NSN(2, 10, 64) = 26*51 = 320

Alternativní metoda

Tento způsob je relativně jednoduchý a rychlý, ale pokud ho chcete pochopit, měli byste si nastudovat jak spočítat největšího společného dělitele (přejít na článek Největší společný dělitel), protože NSN čísel x, y je definován jako:


Je doufám pochopitelné, že NSD představuje největšího společného dělitele. Zkusíme touto metodu určit NSN čísel 48, 112, 64. Pozor, tato metoda platí pouze pro dvě čísla a my nyní musíme určit NSN ze tří čísel. Proto nejdřív určíme NSN prvních dvou čísel a pak NSN výsledku a třetího čísla.

NSN(48, 112, 64) = ?
NSD(48, 112) = 16 

NSN(336, 64) = ?
NSD(336, 64) = 16

Příklad použití

V úvodu jsem říkal, že se NSN používá přu práci se zlomky, konkrétně při odčítání a sčítání zlomků. Zkuste sečíst následující zlomky:


Musíme určit NSN čísel 4, 6
4=22
6=31*21
NSN(4, 6) = 22*31 = 12


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočtěte


Hlavolam

Akce! Tma, bouřka, silný déšť. Podminovaná lávka přes širokou rozvodněnou řeku. Dvoučlené komadno prozatím uspělo. Oba politici držení v zajetí teroristy byli osvobozeni. Ještě je třeba se dostat na druhou stranu lávky, která exploduje za 17 minut. Víc času není. Lávka je ale moc úzká a bambus víc jak dva lidi najednou neunese. A pak, je hrozná tma a oni mají jenom jednu baterku (asi nízkorozpočtový film). Bez baterky se lávka prostě přejít nedá. To by byla sebevražda. Oba komandos jsou celkem ve formě: první přeběhne lávku za 1 minutu, druhý za 2 minuty. Politici jsou na tom, ale hůř: jeden přejde lávku za 5 a druhý za 10 minut. Přes lávku mohou jít jen dva najednou a ten rychlejší samozřejmě musí čekat na toho pomalejšího. Jak to stihnou? Nebo to nebude americkej happyend?