Odchylka není úhel vektorů

Jestli si z celé téhle stránky odnesete jednu věc, ať je to tahle. Vektor má směr, přímka ho nemá, a rovina už vůbec ne. Proto odchylka vždycky leží mezi 0° a 90°, zatímco úhel dvou vektorů může být klidně 150°.

V praxi je to jeden pár svislých čar ve vzorci: do kosinu jde absolutní hodnota skalárního součinu. Bez ní vyjde u poloviny příkladů doplněk do 180° a výsledek je špatně. Kalkulačka výše proto vypisuje obě čísla vedle sebe, aby bylo vidět, kdy se liší.

Tři odchylky, jeden postup

Všechny tři případy se počítají ze stejného vzorce, jen se do něj dosadí jiné vektory:

  • Dvě přímky: dosadí se jejich směrové vektory. Poloha přímek v prostoru na odchylku vliv nemá, takže mimoběžky se počítají úplně stejně jako různoběžky.
  • Dvě roviny: dosadí se normálové vektory, které se z obecné rovnice ax + by + cz + d = 0 přečtou rovnou jako (a; b; c). Roviny jsou na své normály kolmé, takže se úhel přenese beze změny.
  • Přímka a rovina: tady je háček. Spočítá se úhel přímky s normálou a od 90° se odečte. Zkráceně se to píše jedním vzorcem se sinem místo kosinu.

Zapomenout na to odečtení u třetího případu je nejčastější chyba hned po té s absolutní hodnotou. Kontrola zdravým rozumem pomůže: přímka rovnoběžná s rovinou je kolmá na normálu, a její odchylka od roviny musí vyjít nula.

Vzdálenosti mají hotové vzorce

Bod od roviny se počítá dosazením bodu do levé strany obecné rovnice a vydělením velikostí normálového vektoru. Znaménko toho dosazení je navíc užitečné samo o sobě: říká, ve kterém z obou poloprostorů bod leží, což se hodí u úloh o vzájemné poloze.

Bod od přímky jde přes vektorový součin. Vezme se vektor z bodu přímky do zadaného bodu, vektorově se vynásobí směrovým vektorem, a výsledná velikost je obsah rovnoběžníku. Obsah je základna krát výška, základnou je délka směrového vektoru, a ta výška je přesně hledaná vzdálenost.

Průsečnice dvou rovin

Průsečnice leží v obou rovinách zároveň, takže je kolmá na obě normály. Přesně to umí vektorový součin, který tedy rovnou dá její směrový vektor. Pak už zbývá najít jediný bod, který splňuje obě rovnice: jedna souřadnice se prostě zvolí a zbylé dvě se dopočítají ze soustavy dvou rovnic.

Volba je libovolná, takže spolužák může dostat jiný bod a mít stejně pravdu. Přímka je táž, když je rozdíl obou bodů násobkem směrového vektoru.

V krychli nezáleží na hraně

Skoro všechny školní příklady na odchylky se odehrávají v krychli, a ta má tu příjemnou vlastnost, že se hrana ve výsledku vždycky zkrátí. Odchylka tělesové úhlopříčky od podstavy má tg φ = a / (a√2) = 1/√2, a vyjde 35°16′ bez ohledu na to, jak je krychle velká.

Stěnová úhlopříčka je a√2, tělesová a√3, a obojí plyne z Pythagorovy věty použité jednou, respektive dvakrát za sebou. Kalkulačka výše vypisuje celý přehled najednou, včetně dvojic, které jsou na sebe kolmé, aniž by se protínaly.

Řez krychlí: tři až šest vrcholů

Rovina řezu se hledá tak, že se protne s každou z dvanácti hran krychle. Hrana je protnutá právě tehdy, když mají její dva konce opačné znaménko po dosazení do rovnice roviny, a průsečíky se pak seřadí do mnohoúhelníku.

Krychle má šest stěn, takže řez může mít nejvýš šest stran, a nejméně tři. Šestiúhelník vznikne, jen když rovina protne všech šest stěn, což se povede rovině kolmé na tělesovou úhlopříčku procházející středem. Do kalkulačky se body zadávají jako podíl hrany: střed hrany AB je [0,5; 0; 0], vrchol G je [1; 1; 1].