Matematika pro každého
Substituční metoda
Tato metoda spočívá v zavedení nové proměnné do integrálu, díky které bude integrál lehčí vypočítat. Integrál `\int f(g(x))\mathrm{d}x` nahradíme integrálem `\int f(t)`, kde `t=g(x)`. Není to ovšem celé, musíme diferenciál dx vyjádřit pomocí diferenciálu dt. Upravený integrál spočítáme a nakonec nahradíme zpět za proměnnou t.
`\int f(g(x))\cdot g'(x)\mathrm{d}x=\int f(t)\mathrm{d}t`, kde `t=g(x)`
8) Spočítejte `\int\frac{1}{x+4}\mathrm{d}x`.
Příklad budeme pochopitelně řešit pomocí substituce. Substituovat bychom mohli více věcí, ale v tomto případě si nejvíce pomůžeme, pokud položíme substituci `t = x + 4`.
`\int \frac{1}{x+4}=\mathrm{d}x\begin{vmatrix}t=x+4\\t'=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\\mathrm{d}x=1\mathrm{d}t\end{vmatrix}=\int \frac{1}{t}\mathrm{d}t = \ln|t|+\mathrm{C}=\ln|x+4|+\mathrm{C}`
To pravé umění spočívá v tom, najít, jaká substituce se nám hodí nejvíce. V tomto příkladě se nám integrál po substituci zjednodušil na tabulkový integrál a nakonec jsme pouze dosadili za t.
Nezapomínejte na tabulkový integrál `\int\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln|x|`. Využijete ho často.
Spočítejte: `\int (2x-3)^{10}\mathrm{d}x`.
Jedním z možných řešení by bylo výraz desetkrát umocnit, čímž by vznikl polynom a integrace polynomu již není problém. Ale vzhledem k vysoké mocnině se jako lepší řešení hodí použít substituci.
`\int (2x-3)^{10}\mathrm{d}x=\begin{vmatrix}t=2x-3\\2\mathrm{d}x=\mathrm{dt}\end{vmatrix}=\int t^{10}\frac{1}{2}\mathrm{d}t`
Jednu polovinu můžeme vytknout před integrál a pak už jen integrujeme podle vzorečku.
`\int (2x-3)^{10}\mathrm{d}x=\int t^{10}\frac{1}{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\frac{t^{11}}{11}+\mathrm{C}=\frac{t^{11}}{22}+\mathrm{C}`
Za t dosadíme zpět x a je hotovo.
`\int (2x-3)^{10}\mathrm{d}x=\frac{t^{11}}{22}+\mathrm{C}=\frac{(2x-3)^{11}}{22}+\mathrm{C}`
Určete `\int\frac{x}{x^4+1}\mathrm{d}x`.
Výraz nemůžeme dělit jako mnohočleny a ani nemůžeme rozložit jmenovatele - vede nás to na substituční metodu.
`\int\frac{x}{x^4+1}\mathrm{d}x=\begin{vmatrix}t=x^2\\2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\end{vmatrix}=\int \frac{x}{t^2+1}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}t`
Když vytkneme konstantu před integrál získáme opět integrál `\int \frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x=\arctan{x}+\mathrm{C}`.
`\int\frac{x}{x^4+1}\mathrm{d}x=\begin{vmatrix}t=x^2\\2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\end{vmatrix}=\int \frac{x}{t^2+1}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\arctan{t}+\mathrm{C}=\frac{1}{2}\arctan{x^2}+\mathrm{C}`
Metoda per partes
Spočítejte `\int \arctan{x}\mathrm{d}x`.
Musíme si představit hledaný integrál jako `\int 1\cdot\arctan{x}\mathrm{d}x` a pak jasně vidíme, že se přímo nabízí metoda per partes.
`\int 1\cdot\arctan{x}\mathrm{d}x=\begin{vmatrix}u=\arctan{x} & v'=1\\u'=\frac{1}{1+x^2} & v=x\end{vmatrix}=uv-\int v\mathrm{d}u=x\arctan{x}-\int\frac{x}{1+x^2}`
Integrál spočteme substitucí.
`\int 1\cdot\arctan{x}\mathrm{d}x=\begin{vmatrix}u=\arctan{x} & v'=1\\u'=\frac{1}{1+x^2} & v=x\end{vmatrix}=uv-\int v\mathrm{d}u=x\arctan{x}-\int\frac{x}{1+x^2}=x\arctan{x}-\frac{1}{2}\ln|x^2+1|+\mathrm{C}`
Zintegrujte funkci `f(x)=\frac{\ln x}{x^2}`.
Zadanou funkci zintegrujeme metodou per partes.
`\int\frac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x=\begin{vmatrix}u=\ln{x} & v' = \frac{1}{x^2}\\u'=\frac{1}{x} & v=-\frac{1}{x}\end{vmatrix}=uv-\int v\mathrm{d}u`
Dosadíme hodnoty u, u' a v a příklad je téměř hotov.
`\int\frac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x=uv-\int v\mathrm{d}u=-\frac{1}{x}\ln{x}-\int\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\frac{\ln{x}}{x}-\frac{1}{x}+\mathrm{C}=-\frac{\ln{x}+1}{x}+\mathrm{C}`
Parciální zlomky
Spočítejte `\int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}\mathrm{d}x`
Zde se hodí použít metodu parciálních zlomků.
`\begin{array}{rcl}\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}&=&\frac{\mathrm{A}}{x-1}+\frac{\mathrm{B}}{x+3}+\frac{\mathrm{C}}{x-4}\\2x^2+41x-91 &=&\mathrm{A}(x+3)(x-4)+\mathrm{B}(x-1)(x-4)+\mathrm{C}(x-1)(x+3)\\2x^2+41x-91&=&\mathrm{A}(x^2-x-12)+\mathrm{B}(x^2-5x+4)+\mathrm{C}(x^2+2x-3)\end{array}`
Vytvoříme soustavu tří rovnic o třech neznámých.
`\begin{array}{rcl}2&=&\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}\\41&=&-\mathrm{A}-5\mathrm{B}+2\mathrm{C}\\-91&=&-12\mathrm{A}+4\mathrm{B}-3\mathrm{C}\end{array}`
Výsledek této soustavy je a = 4, b = -7, c= 5. Můžeme dosadit zpět do integrálu.
`\int \left(4\frac{1}{x-1}+7\frac{1}{x+3}+5\frac{1}{x-4}\right)\mathrm{d}x=4\int\frac{1}{x-1}\mathrm{d}x+7\int\frac{1}{x+3}\mathrm{d}x+5\int\frac{1}{x-4}\mathrm{d}x`
Tyto dílčí integrály vyřešíme pomocí vzorečku `\int \frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln|f(x)|+\mathrm{C}`.
`4\int\frac{1}{x-1}\mathrm{d}x+7\int\frac{1}{x+3}\mathrm{d}x+5\int\frac{1}{x-4}\mathrm{d}x=4\ln|x-1|-7\ln|x+3|+5\ln|x-4|+\mathrm{C}`