Substituční metoda

Vydáno dne v kategorii Reálná analýza; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 5 668

Úvod do substituční metody při počítání integrálů


Substituční metoda

Tato metoda spočívá v zavedení nové proměnné do integrálu, díky které bude integrál lehčí vypočítat. Integrál \int f(g(x))\mathrm{d}x nahradíme integrálem \int f(t), kde t=g(x). Není to ovšem celé, musíme diferenciál dx vyjádřit pomocí diferenciálu dt. Upravený integrál spočítáme a nakonec nahradíme zpět za proměnnou t.

\int f(g(x))\cdot g'(x)\mathrm{d}x=\int f(t)\mathrm{d}t, kde t=g(x)

8) Spočítejte \int\frac{1}{x+4}\mathrm{d}x.

Příklad budeme pochopitelně řešit pomocí substituce. Substituovat bychom mohli více věcí, ale v tomto případě si nejvíce pomůžeme, pokud položíme substituci t = x + 4.

\int \frac{1}{x+4}=\mathrm{d}x\begin{vmatrix}t=x+4\\t'=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\\mathrm{d}x=1\mathrm{d}t\end{vmatrix}=\int \frac{1}{t}\mathrm{d}t = \ln|t|+\mathrm{C}=\ln|x+4|+\mathrm{C}

To pravé umění spočívá v tom, najít, jaká substituce se nám hodí nejvíce. V tomto příkladě se nám integrál po substituci zjednodušil na tabulkový integrál a nakonec jsme pouze dosadili za t.

Nezapomínejte na tabulkový integrál \int\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln|x|. Využijete ho často.

Spočítejte: \int (2x-3)^{10}\mathrm{d}x.



Určete \int\frac{x}{x^4+1}\mathrm{d}x.



Metoda per partes

Spočítejte \int \arctan{x}\mathrm{d}x.



Zintegrujte funkci f(x)=\frac{\ln x}{x^2}.



Parciální zlomky

Spočítejte \int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}\mathrm{d}x



Test

Funkce f:y=\frac{x-2}{x+4}:


Hlavolam

Kolečko o průměru 10 cm se otáčí po dráze, která má délku 2 metry. Kolik otáček kolečko udělá, když urazí celou dráhu?