Substituční metoda, per partes a parciální zlomky

Substituční metoda je způsob, jak spočítat integrál složené funkce. Vnitřní funkci nahradíme novou proměnnou `t=g(x)`, přepočítáme `\mathrm{d}x` na `\mathrm{d}t` a dostaneme jednodušší integrál, obvykle přímo z tabulky. Funguje tehdy, když je v integrálu vedle vnitřní funkce i její derivace:

`\begin{gathered}\displaystyle\int f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(t)\,\mathrm{d}t\\[4pt]t=g(x),\quad \mathrm{d}t=g'(x)\,\mathrm{d}x\end{gathered}`

Nejkratší ukázka: v integrálu `\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,\mathrm{d}x` je vnitřní funkce `x^2` a její derivace `2x` stojí hned vedle. Po substituci `t=x^2` je `\mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}x` a zbude `\displaystyle\int\cos t\,\mathrm{d}t=\sin t+C`, tedy `\sin(x^2)+C`. Zkouška derivací: `\left(\sin x^2\right)'=\cos(x^2)\cdot 2x`.

Slovo substituce se v matematice používá i mimo integrály, pro každé nahrazení výrazu novou proměnnou: u bikvadratických a exponenciálních rovnic nebo u soustav rovnic, kde se jí říká dosazovací metoda. Ty jsou krátce na konci, v části Substituce v rovnicích.

Substituce je derivace složené funkce čtená pozpátku, a proto se před ní vyplatí umět tabulku z článku Neurčitý integrál. Když integrovaná funkce není složená, ale je to součin dvou různých funkcí (`x\,\mathrm{e}^x`, `x\sin x`, `\ln x`), pomůže metoda per partes. Na podíl dvou mnohočlenů je rozklad na parciální zlomky.

Postup substituční metody

1. Zvolte `t`: obvykle vnitřní funkci, tedy výraz v závorce, pod odmocninou, v exponentu nebo ve jmenovateli.
2. Zderivujte obě strany: `\mathrm{d}t=g'(x)\,\mathrm{d}x`.
3. Přepište celý integrál jen pomocí `t` a `\mathrm{d}t`. Nesmí v něm zůstat žádné `x`. Pokud zůstane, substituce se nehodí, nebo je potřeba `x` z ní vyjádřit.
4. Zintegrujte podle `t`.
5. Dosaďte zpět `t=g(x)`. Výsledek má být funkce proměnné `x`.

Substituce se ve školách zapisuje do svislých čar přímo mezi rovnítka, aby bylo vidět, co se čím nahradilo. Takto vypadá celý výpočet:

Příklad 1

Vypočítejte `\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^5\,\mathrm{d}x`.

Roznásobit pátou mocninu by šlo, ale je to zbytečná práce. Vnitřní funkce je `x^2+1`, její derivace `2x` je v integrálu celá:

`\displaystyle\begin{aligned}\int 2x\,(x^2+1)^5\,\mathrm{d}x&=\left|\begin{matrix}t=x^2+1\\ \mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}x\end{matrix}\right|\\[8pt]&=\int t^5\,\mathrm{d}t=\frac{t^6}{6}+C\\[8pt]&=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C\end{aligned}`

Zkouška:

`\displaystyle\begin{aligned}\left(\frac{(x^2+1)^6}{6}\right)'&=\frac{6(x^2+1)^5\cdot 2x}{6}\\[8pt]&=2x\,(x^2+1)^5\end{aligned}`

Derivace vnitřní funkce, kterou substituce „spotřebovala“, se při zkoušce zase objeví.

Příklad 2 - když chybí konstanta

Vypočítejte `\displaystyle\int x\,\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x`.

Derivace vnitřní funkce `x^2` je `2x`, v integrálu je jen `x`. Nevadí, chybějící konstantu dopočítáme: z `\mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}x` je `x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\,\mathrm{d}t`.

`\displaystyle\begin{aligned}\int x\,\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x&=\left|\begin{matrix}t=x^2\\ \mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}x\end{matrix}\right|\\[8pt]&=\frac{1}{2}\int\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d}t\\[8pt]&=\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{t}+C=\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{x^2}+C\end{aligned}`

Chybět smí jen konstanta. Kdyby v integrálu nebylo `x` vůbec, jako u `\displaystyle\int\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x`, substituce nepomůže. Tento integrál dokonce nejde vyjádřit žádným vzorcem ze základních funkcí.

Jakou substituci zvolit

Na volbě `t` záleží všechno. Většina školních příkladů patří do jednoho z těchto typů:

Když si nejste jistí, zkuste za `t` to, co je „uvnitř“, a podívejte se, jestli se po kroku 3 zbavíte všech `x`. Pokud ne, zkuste jinou volbu nebo jinou metodu.

Integrál f(ax + b): lineární substituce

Je-li vnitřní funkce lineární, substituce `t=ax+b` dá `\mathrm{d}t=a\,\mathrm{d}x`, tedy `\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\,\mathrm{d}t`. Z toho plyne pravidlo, které se vyplatí umět nazpaměť:

`\displaystyle\int f(ax+b)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\,F(ax+b)+C`

Primitivní funkci `F` napíšete, jako by vnitřek byl jen `x`, a výsledek vydělíte číslem `a`. Například `\displaystyle\int\cos 3x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sin 3x+C` a `\displaystyle\int\mathrm{e}^{5x-1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{5}\,\mathrm{e}^{5x-1}+C`.

Příklad 3

Vypočítejte `\displaystyle\int(2x-3)^{10}\,\mathrm{d}x`.

`\displaystyle\begin{aligned}\int(2x-3)^{10}\,\mathrm{d}x&=\left|\begin{matrix}t=2x-3\\ \mathrm{d}t=2\,\mathrm{d}x\end{matrix}\right|\\[8pt]&=\frac{1}{2}\int t^{10}\,\mathrm{d}t\\[8pt]&=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{11}}{11}+C\\[8pt]&=\frac{(2x-3)^{11}}{22}+C\end{aligned}`

Kontrola: derivace dá `\dfrac{11\,(2x-3)^{10}\cdot 2}{22}=(2x-3)^{10}`. Bez dělení dvěma by zkouška vyšla dvakrát větší.

Příklad 4

Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{1}{x+4}\,\mathrm{d}x`.

Tady je `a=1`, takže stačí v tabulkovém `\displaystyle\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C` nahradit `x` výrazem `x+4`:

`\displaystyle\int\frac{1}{x+4}\,\mathrm{d}x=\ln|x+4|+C`

Integrál f′(x) / f(x)

Když je v čitateli zlomku derivace jmenovatele, vyjde vždy logaritmus jmenovatele. Je to substituce `t=f(x)`, `\mathrm{d}t=f'(x)\,\mathrm{d}x`, po které zbude `\displaystyle\int\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t`:

`\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x=\ln|f(x)|+C`

V logaritmu je celý jmenovatel `f(x)`, ne jen `x`. Tento vzorec využijete velmi často, třeba na konci rozkladu na parciální zlomky.

Příklad 5

Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x` a `\displaystyle\int\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{d}x`.

V prvním je `(x^2+1)'=2x` přesně v čitateli. Jmenovatel je vždy kladný, takže absolutní hodnotu není nutné psát:

`\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\ln(x^2+1)+C`

Ve druhém přepíšeme `\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}`. Derivace jmenovatele je `-\sin x`, v čitateli chybí jen znaménko minus:

`\displaystyle\begin{aligned}\int\frac{\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x&=-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x\\[8pt]&=-\ln|\cos x|+C\end{aligned}`

Zkouška: `\left(-\ln|\cos x|\right)'=-\dfrac{-\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\,x`.

Další řešené příklady na substituci

Příklad 6

Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x`.

Jmenovatel nemá reálné kořeny, na lineární činitele ho tedy rozložit nejde, a `t=x^4+1` nepomůže, protože jeho derivace `4x^3` v čitateli není. Pomůže všimnout si, že `x^4=(x^2)^2`, a zvolit `t=x^2`. Pak `\mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}x`, tedy `x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\,\mathrm{d}t`, a v integrálu nezůstane žádné `x`:

`\displaystyle\begin{aligned}\int\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x&=\left|\begin{matrix}t=x^2\\ \mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}x\end{matrix}\right|\\[8pt]&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{t^2+1}\,\mathrm{d}t\\[8pt]&=\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,t+C\\[8pt]&=\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,x^2+C\end{aligned}`

Zkouška: `\left(\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,x^2\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{1+x^4}=\dfrac{x}{x^4+1}`.

Příklad 7

Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x`.

Zlomek `\dfrac{1}{x}` je derivace `\ln x`, takže volíme `t=\ln x`, `\mathrm{d}t=\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x`:

`\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x=\int t\,\mathrm{d}t=\frac{t^2}{2}+C=\frac{\ln^2x}{2}+C`

Výsledek platí pro `x\gt 0`, kde je `\ln x` definovaný.

Substituce v určitém integrálu

U určitého integrálu se se substitucí mění i meze. Místo dosazování zpět stačí přepočítat meze na `t`: dolní mez `a` přejde na `g(a)`, horní `b` na `g(b)`.

Příklad 8

Vypočítejte `\displaystyle\int_0^4 x\sqrt{x^2+9}\,\mathrm{d}x`.

Volíme `t=x^2+9`, `\mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}x`. Pro `x=0` je `t=9`, pro `x=4` je `t=25`:

`\displaystyle\begin{aligned}\int_0^4 x\sqrt{x^2+9}\,\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int_9^{25}\sqrt{t}\,\mathrm{d}t\\[8pt]&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}\,t\sqrt{t}\right]_9^{25}\\[8pt]&=\frac{1}{3}\,(125-27)=\frac{98}{3}\end{aligned}`

Kontrola odhadem: funkce roste od 0 do `4\cdot 5=20` a její graf leží pod úsečkou z bodu `[0;\ 0]` do bodu `[4;\ 20]`. Plocha proto musí být menší než trojúhelník pod touto úsečkou, `\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 20=40`. Vyšlo `\frac{98}{3}\doteq 32{,}7`, to sedí. Obrázek ukazuje, co substituce udělala: plocha pod původní funkcí a plocha pod novou funkcí na nových mezích jsou stejné, i když mají úplně jiný tvar.

Nejčastější chyba je nechat staré meze 0 a 4 u nové proměnné `t`. Pokud chcete meze nepřepočítávat, spočítejte nejdřív neurčitý integrál, dosaďte zpět `x` a teprve pak dosaďte 0 a 4.

Metoda per partes

Metoda per partes (integrace po částech) je pravidlo pro derivaci součinu `(uv)'=u'v+uv'` čtené pozpátku. Hodí se na součin dvou různých funkcí, kde substituce nepomůže:

`\displaystyle\int u\,v'\,\mathrm{d}x=u\,v-\int u'\,v\,\mathrm{d}x`

Jednu funkci označíme `u` (tu budeme derivovat), druhou `v'` (tu budeme integrovat). Volba rozhoduje o všem: integrál vpravo má být jednodušší než ten původní.

• Mnohočlen krát `\mathrm{e}^x`, `\sin x` nebo `\cos x`: `u` je mnohočlen, derivací se mu sníží stupeň.
• Mnohočlen krát `\ln x` nebo `\mathrm{arctg}\,x`: `u` je logaritmus nebo arkustangens, derivací z nich zmizí.
• Samotné `\ln x` nebo `\mathrm{arctg}\,x` se zapíše jako `1\cdot\ln x`, s `v'=1`.

Příklad 9

Vypočítejte `\displaystyle\int x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x`.

Volíme `u=x`, `v'=\mathrm{e}^x`. Pak `u'=1` a `v=\mathrm{e}^x`:

`\displaystyle\begin{aligned}\int x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x&=\left|\begin{matrix}u=x & v'=\mathrm{e}^x\\ u'=1 & v=\mathrm{e}^x\end{matrix}\right|\\[8pt]&=x\,\mathrm{e}^x-\int\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\\[8pt]&=x\,\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^x+C=(x-1)\,\mathrm{e}^x+C\end{aligned}`

Zkouška: `\left((x-1)\,\mathrm{e}^x\right)'=\mathrm{e}^x+(x-1)\,\mathrm{e}^x=x\,\mathrm{e}^x`. Opačná volba `u=\mathrm{e}^x`, `v'=x` by vedla na `\displaystyle\int\frac{x^2}{2}\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x`, tedy na horší integrál než na začátku.

Je-li mnohočlen druhého stupně, použije se per partes dvakrát po sobě: `\displaystyle\int x^2\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x=(x^2-2x+2)\,\mathrm{e}^x+C`.

Příklad 10

Vypočítejte `\displaystyle\int x\cos x\,\mathrm{d}x`.

`\displaystyle\begin{aligned}\int x\cos x\,\mathrm{d}x&=\left|\begin{matrix}u=x & v'=\cos x\\ u'=1 & v=\sin x\end{matrix}\right|\\[8pt]&=x\sin x-\int\sin x\,\mathrm{d}x\\[8pt]&=x\sin x+\cos x+C\end{aligned}`

Pozor na znaménko: `\displaystyle\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x` a minus před integrálem z něj udělá plus.

Příklad 11

Vypočítejte `\displaystyle\int\ln x\,\mathrm{d}x`.

Logaritmus v tabulce integrálů není, ale jeho derivace `\dfrac{1}{x}` je jednoduchá. Napíšeme `\ln x=1\cdot\ln x`:

`\displaystyle\begin{aligned}\int 1\cdot\ln x\,\mathrm{d}x&=\left|\begin{matrix}u=\ln x & v'=1\\ u'=\frac{1}{x} & v=x\end{matrix}\right|\\[8pt]&=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\\[8pt]&=x\ln x-x+C\end{aligned}`

Příklad 12 - per partes a substituce za sebou

Vypočítejte `\displaystyle\int\mathrm{arctg}\,x\,\mathrm{d}x`.

Stejný trik: `u=\mathrm{arctg}\,x`, `v'=1`, takže `u'=\dfrac{1}{1+x^2}` a `v=x`. Integrál, který zbude, je typu `\dfrac{f'}{f}` až na konstantu `\frac{1}{2}`:

`\displaystyle\begin{aligned}\int\mathrm{arctg}\,x\,\mathrm{d}x&=x\,\mathrm{arctg}\,x-\int\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\[8pt]&=x\,\mathrm{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\end{aligned}`

Stejně se počítá `\displaystyle\int\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x`: s `u=\ln x` a `v'=\dfrac{1}{x^2}` je `v=-\dfrac{1}{x}` a výsledek `-\dfrac{\ln x+1}{x}+C`.

Rozklad na parciální zlomky

Integrál podílu dvou mnohočlenů, třeba `\dfrac{5x-1}{x^2-x-2}`, se počítá tak, že se zlomek rozloží na součet jednodušších zlomků, parciálních zlomků, a každý z nich se zintegruje zvlášť. Postup:

1. Je stupeň čitatele stejný nebo větší než stupeň jmenovatele? Pak nejdřív vydělte. Například `\dfrac{x^2+3}{x-1}=x+1+\dfrac{4}{x-1}`, ověřit si to můžete na kalkulačce dělení mnohočlenů.
2. Rozložte jmenovatel na součin, například `x^2-x-2=(x-2)(x+1)`. Kořeny najde kalkulačka kořeny a rozklad mnohočlenu.
3. Napište rozklad s neznámými: ke každému činiteli `(x-r)` jeden zlomek `\dfrac{A}{x-r}`.
4. Najděte konstanty: vynásobte rovnost jmenovatelem a dosaďte postupně kořeny.
5. Zintegrujte: `\displaystyle\int\frac{A}{x-r}\,\mathrm{d}x=A\ln|x-r|+C`.

Příklad 13

Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}\,\mathrm{d}x`.

Čitatel má stupeň 2, jmenovatel 3, dělit není třeba. Jmenovatel je už rozložený, takže hledáme

`\displaystyle\begin{aligned}&\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}\\[8pt]&=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-4}\end{aligned}`

Po vynásobení jmenovatelem:

`\begin{aligned}2x^2+41x-91={}&A(x+3)(x-4)\\&+B(x-1)(x-4)\\&+C(x-1)(x+3)\end{aligned}`

Rovnost platí pro každé `x`, a tak dosadíme kořeny jmenovatele. Pokaždé zmizí dva členy ze tří:

`\begin{aligned}x&=1: & {-48}&=-12A & A&=4\\ x&=-3: & {-196}&=28B & B&=-7\\ x&=4: & 105&=21C & C&=5\end{aligned}`

Totéž by dala soustava tří rovnic, kterou dostanete porovnáním koeficientů u `x^2`, `x` a absolutního členu, ale dosazení kořenů je rychlejší. Integrál je pak součet tří logaritmů:

`\displaystyle\begin{aligned}&\int\left(\frac{4}{x-1}-\frac{7}{x+3}+\frac{5}{x-4}\right)\mathrm{d}x\\[8pt]&=4\ln|x-1|-7\ln|x+3|+5\ln|x-4|+C\end{aligned}`

Kontrola: v `x=0` má původní zlomek hodnotu `\dfrac{-91}{12}` a rozklad `-4-\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{-48-28-15}{12}=\dfrac{-91}{12}`.

Dvojnásobný kořen nebo nerozložitelný kvadratický činitel vyžadují jiný tvar rozkladu: k `(x-r)^2` patří dva zlomky `\dfrac{A}{x-r}+\dfrac{B}{(x-r)^2}` a k `x^2+px+q` bez reálných kořenů zlomek `\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}`, který vede na logaritmus a arkustangens.

Kterou metodu použít

• Je to součet funkcí z tabulky (po roznásobení nebo vydělení)? Integrujte člen po členu podle článku Neurčitý integrál.
• Je tam složená funkce a vedle ní derivace jejího vnitřku? Substituce.
• Je to součin dvou různých druhů funkcí (mnohočlen a exponenciála, mnohočlen a sinus, logaritmus)? Per partes.
• Je to podíl dvou mnohočlenů? Nejdřív zkuste, jestli čitatel není derivace jmenovatele. Pokud ne, parciální zlomky.

Na jeden příklad často nestačí jedna metoda: v příkladu 12 po per partes následovala substituce.

Substituce v rovnicích

Mimo integrály znamená substituce totéž: složitý výraz nahradíme novou proměnnou, vyřešíme jednodušší úlohu a nakonec se vrátíme k původní proměnné. Nejčastěji ji potkáte tady:

• Bikvadratická rovnice `x^4-5x^2+4=0`: substituce `t=x^2` z ní udělá kvadratickou rovnici `t^2-5t+4=0` s kořeny `t=1` a `t=4`. Návrat k `x` dá `x^2=1` a `x^2=4`, tedy čtyři kořeny `\pm 1` a `\pm 2`. Kvadratickou rovnici vysvětluje článek Kvadratická rovnice.
• Exponenciální rovnice `4^x-3\cdot 2^x-4=0`: protože `4^x=(2^x)^2`, substituce `t=2^x` dá `t^2-3t-4=0`, tedy `t=4` nebo `t=-1`. Záporné `t` vyřadíme, `2^x` je vždy kladné, a zbude `x=2`. Vyřeší ji i kalkulačka exponenciální rovnice se substitucí, víc v článku Exponenciální a logaritmické rovnice.
• Soustava rovnic: substituční neboli dosazovací metoda vyjádří z jedné rovnice jednu neznámou a dosadí ji do druhé. Výsledek si ověříte na kalkulačce soustavy dvou rovnic, postup natrénujete na příkladech na soustavy rovnic.
• Goniometrické rovnice typu `2\sin^2x-\sin x-1=0` se substitucí `t=\sin x`, viz Goniometrické rovnice.

Časté chyby

• V integrálu po substituci zůstalo `x`. Integrál, ve kterém jsou zároveň `t` i `x`, se počítat nedá. Buď `x` ze substituce vyjádřete, nebo zvolte jiné `t`.
• Zapomenuté `\mathrm{d}x` na `\mathrm{d}t`. Nestačí přepsat `x^2+1` na `t`, musí se přepočítat i `\mathrm{d}x`. Odtud se v příkladu 2 vzala polovina.
• Chybí dělení číslem `a` u `f(ax+b)`. `\displaystyle\int\mathrm{e}^{3x}\,\mathrm{d}x` není `\mathrm{e}^{3x}`, ale `\frac{1}{3}\,\mathrm{e}^{3x}+C`.
• Výsledek zůstal v proměnné `t`. U neurčitého integrálu je třeba dosadit zpět.
• Staré meze u nové proměnné v určitém integrálu, viz příklad 8.
• Logaritmus jen z `x`. `\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x` je `\ln|f(x)|+C`, ne `\ln|x|`.
• Per partes s opačnou volbou. Když je integrál po per partes složitější než původní, prohoďte `u` a `v'`.
• Parciální zlomky bez dělení. Je-li stupeň čitatele aspoň takový jako stupeň jmenovatele, rozklad s konstantami `A`, `B` nevyjde. Nejdřív vydělte.

Každý výsledek se dá ověřit zderivováním. Na integrály je to jistější kontrola než přepočítání, protože derivování nevyžaduje žádný nápad.

Příklady k procvičení

`\displaystyle\begin{aligned}\frac{1}{3}\int t^4\,\mathrm{d}t&=\frac{1}{3}\cdot\frac{t^5}{5}+C\\[8pt]&=\frac{(3x+1)^5}{15}+C\end{aligned}`

`\displaystyle\frac{1}{3}\int\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{3}\,\mathrm{e}^{x^3}+C`

`\displaystyle\int\frac{\cos x}{2+\sin x}\,\mathrm{d}x=\ln(2+\sin x)+C`

`\displaystyle\begin{aligned}\int x\sin x\,\mathrm{d}x&=-x\cos x+\int\cos x\,\mathrm{d}x\\[8pt]&=-x\cos x+\sin x+C\end{aligned}`

`\begin{aligned}&(-x\cos x+\sin x)'\\&=-\cos x+x\sin x+\cos x\\&=x\sin x\end{aligned}`

`\displaystyle\begin{aligned}&\int\left(\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}\right)\mathrm{d}x\\[8pt]&=3\ln|x-2|+2\ln|x+1|+C\end{aligned}`

`\displaystyle\begin{aligned}s&=\int_0^{10}10\left(1-\mathrm{e}^{-t/5}\right)\mathrm{d}t\\[8pt]&=\Big[10t+50\,\mathrm{e}^{-t/5}\Big]_0^{10}\\[8pt]&=100+50\,\mathrm{e}^{-2}-50\\[8pt]&=50+50\,\mathrm{e}^{-2}\doteq 56{,}8\ \mathrm{m}\end{aligned}`

Kam dál

• Procvičování: integrál mocniny - po substituci nejčastěji zbude právě integrál mocniny.
• Procvičování: derivace mocniny - opačný směr, na kterém stojí každá zkouška.
• Dělení mnohočlenů a kořeny a rozklad mnohočlenu - kalkulačky s postupem pro první dva kroky parciálních zlomků.
• Neurčitý integrál - primitivní funkce, tabulka integrálů a pravidla.
• Základy derivace - derivace složené funkce a součinu, ze kterých vychází substituce i per partes.