Násobení

Vydáno dne 5. 11. 2008 v kategorii ZŠ matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 46 082

V tomto článku si ukážeme základy násobení + násobení pod sebe.

Sčítání, odčítání, násobení a dělení - toto jsou ty nejzákladnější matematické dovednosti. V tomto článku se vám pokusím vysvětlit, co jak násobit malá čísla, ale i velká čísla. Naučíme se násobit pod sebe a ukážeme si, jak násobili staří Egypťané.

Násobení celých čísel je vlastně opakované sčítání. Například 4 * 3 je stejné jako sečíst 3krát číslo 4:

Na násobení se také můžeme dívat jako na počítání objektů v obdélníku, nebo jako na hledání obsahu obdélníka, jehož strany mají délku činitelů.

Opakem násobení je dělení.

Pokud máme výraz a*b=x , tak členy a a b jsou činitelé a člen x je součin.

Zápis násobení

Je více způsobů, jak lze zapsat násobení dvou čísel. Lze použít křížek ×, tečku ·, nebo hvězdičku *.

Násobení se někdy značí tečkou uprostřed, nebo prostě jenom tečkou:

$5 \cdot 2 \quad\text{nebo}\quad 5\,.\,2$

Tečka uprostřed je standardem ve Spojených Státech a Spojeném království a dalších zemích, kde se jako desetinný oddělovač používá tečka. V některých zemích, kde se jako desetinný oddělovač používá čárka je klasická tečka používána pro násobení.

Hvězdička () se používá převážně na počítačích - tento znak najdete na každé klávesnici. Použití hvězdičky jako znaku pro násobení vychází z programovacího jazyku FORTRAN.
Celkem často se můžeme vynechat s vynecháním znaménka. Například je stejné jako $5 \cdot x$ . Další možné vynechání znaku násobení je, když násobíme závorky: nebo .
Pokud násobíme matice, musíme mít na paměti, že křížek × znamená, že jedná o vektorový součin. Zatímco · znamená, že se jedná o skalární součin.

Pokud násobíme více stejných čísel, nahrazujeme tuto operaci umocňováním:

2*2*2*2*2 = 2⁵ = 32

Pokud chceme násobit nějakou množinu čísel, jež nejsou za sebou, nicméně jejich pořadí má nějakou pravidelnost, můžeme použít Řecké písmeno pí (π).

Co platí

Pokud pracujeme například s reálnými čísly, platí:

Zákon asociativní: →
Zákon komutativní: →
Zákon distributivní: →
Neutrální prvek: →
Inverzní prvek: $a * a^{-1} = 1$ → $5*5^{-1}=1$
Nulový prvek: →

Dále je zde několik pravidel týkajících se znamének:

$a\cdot a=+(a\cdot a)$ → $2\cdot 2=4$
$a\cdot(-a)=-(a\cdot a)$ → $2\cdot(-2)=-4$
$-a\cdot a=-(a\cdot a)$ → $-2\cdot 2 = -4$
$-a\cdot(-a)=-(-(a\cdot a))$ → $-2\cdot(-2) = 4$

Metody násobení

Představíme si několik metod, pomocí nichž lze určit součin činitelů.

Egyptský způsob

Egypťané našli způsob dokumentovaný v Ahmesově papyru. Postup byl následující:

Rozložit první činitele na součet více čísel.
Vynásobit každé z čísel (získaných v předchozím kroku) druhým činitelem.
Sečíst výsledky z předchozího kroku.
Hotovo! Máme výsledek.

Předvedu celý postup na příkladu: vyřešte příklad 13 * 21:

13 * 21 = (1+4+8) * 21 = (1*21)+(4*21)+(8*21) = 21 + 84 + 168 = 273

Proč je minus krát minus plus?

Nedávno jsme dostal od jednoho čtenáře tohoto portálu zajímavou otázku. Tato otázka byla:

Můj dotaz zní: Proč platí $-2\cdot(-2) = 4$ ?Ano, řeknete mi minus krát minus dáva plus, ale mě zajímá proč? Má to nějakou geometrickou podstatu a nebo, proč to tak je?

Chvíli jsem nad tím musel přemýšlet, ale pak jsem si vzpomněl, že jsme si kdysi něco takového vysvětlovali ve škole pomocí číselné osy.

Násobení dvou kladných čísel

Začneme tím, že si na této ose ukážeme, jak by se vynásobilo $2\cdot 1$ .

Nejprve na číselné ose nalezneme první člen součinu, tedy .

Nyní odměříme vzdálenost vyznačeného bodu od nuly - vzdálenost je samozřejmě dva. Dalším krokem je vzít uto vzdálenost a nanést ji na číselnou osu tolikrát, kolik je hodnota druhého členu součinu (tedy pouze jednou). Tam, kde jsme se na číselné ose zastavili, tam je náš výsledek.

Stejný postup můžeme aplikovat i pro jiný příklad, například $1\cdot 3$ .

Zelená úsečka končí u čísla 3 → a proto $1\cdot 3=3$ .

Násobení záporného a kladného čísla

Složitější situace nastane, je-li jeden člen součinu záporný, například příklad $2\cdot(-2)$ . V takovémto případě bychom na číselné ose nalezli první člen součinu, tedy 2:

Dalším krokem je nanesení dané vzdálenosti na osu tolikrát, kolik je hodnota druhého členu součinu. Byl-li druhý člen kladný, nanášela se vzdálenost od nuly směrem doprava. Pokud je ale druhý člen záporný, nanášíme danou vzdálenost od nuly, ale směrem doleva!

Zelená úsečka se zastavila na čísle -4 a platí tedy, že $2\cdot(-2)=-4$ .

V předchozím příkladě byl druhý člen záporný. Nyní si ukážeme, jak postupovat, je-li první člen záporný a druhý člen kladný na příkladu $-1\cdot 3$ .

Nyní tuto vzdálenost musíme třikrát nanést na naši číselnou osu. Nanášet budeme doprava, ale jelikož se jedná o zápornou vzdálenost bude se daná vzdálenost nanášet na levou stranu od nuly.

Násobení dvou záporných čísel

Zkuste na číselné ose spočítat příklad $-2\cdot(-2)$ . Začneme tím, že naneseme číslo -2.

Nyní musíme danou vzdálenost nanést na číselnou osu dvakrát směrem doleva od nuly. Ale jelikož se jedná o zápornou vzdálenost, tak vlastně budeme nanášet napravo od nuly.

Další příklady naleznete na:

http://www.mathsisfun.com/multiplying-negatives.html
http://mathforum.org/library/drmath/view/57865.html