Testy

Diferenciální a integrální počet

Seznam všech otázek

1. Limita `\lim\limits_{x\to-5}\left(\frac{2x}{x+5}+\frac{10}{x+5}\right)` je rovna:

   `-\infty`
   2
   Limita neexistuje
   `\infty`

2. Určete limitu `\lim\limits_{x\to4}\ \frac{2-\sqrt{x}}{4-x}`:

   `-\frac{2}{4}`
   Limita neexistuje
   `\frac{1}{4}`
   `0`

3. Limita funkce `f(x):\ y\ =\ \frac{9-x}{\sqrt{x}-3}`, když x se blíží k 9 je rovna:

   -6
   Limita neexistuje
   3
   -3

4. Určete limitu `\lim\limits_{x\to-1}\ \frac{x^2+x-2}{x^2-1}`

   `0`
   `-\frac{1}{2}`
   `+\infty`
   Limita neexistuje

5. Určete limitu `\lim\limits_{x\to2}\ \frac{x^2-7x-10}{x^2-4}`

   `0`
   `-\frac{7}{4}`
   `\frac{3}{4}`
   Limita neexsituje

6. Určete limitu `\lim\limits_{x\to0}\ \frac{(x+3)^3-27}{x}`:

   27
   9
   3
   -9

7. Určete limitu `\lim\limits_{x\to0}\ \frac{1}{x}`.

   Limita neexistuje
   `0`
   `-\infty`
   `+\infty`

8. Určete limitu `\lim\limits_{x\to2}\frac{x+2}{x-1}`:

   4
   `\frac{8}{2}`
   -4
   2

9. Derivace `x^x` je rovna:

   `x^x \cdot \ln x`
   `x \cdot x^{x-1}`
   `x^x \cdot (\ln x + 1)`
   `(\ln x - 1) \cdot x^{x-1}`

10. Druhá derivace funkce `f(x) = 3x^2 - x^3` se rovná:

    `6x-3x^2`
    `6 - 6x`
    `6x - 6`
    `2x`

11. Určete obsah plochy ohraničené křivkami `y=|x|` a `y=\sqrt{2-x}`.

    `\frac{13}{6}`

12. Zderivujte funkci `f(x)=\sin^2x\cdot\cos x`:

    `2\sin x\cdot\cos^2x-\sin^3x`
    `2\sin^2x\cdot\cos^2x-\sin^3x`
    `2\sin x\cdot\cos x+\sin^3x`
    `2\sin x\cdot\cos^2x-\sin^2x`

13. Určete obsah plochy ohraničené křivkami `y=|x|` a `y=\sqrt{2-x}`.

    `\frac{14}{3}`
    `\frac{5}{6}`
    `\frac{11}{3}`

14. Vypočítejte `\int \frac{x}{(x-1)(x+5)}`.

    `\frac{1}{6}\ln|x-1|+\frac{5}{6}\ln|x+5|+\mathrm{C}`
    `\frac{1}{6}\left(\ln|x-1|+\frac{5}{6}\ln|x+5|\right)+\mathrm{C}`
    `\frac{5}{6}\left(\frac{1}{6}\ln|x-1|+\ln|x+5|\right)+\mathrm{C}`
    `\frac{5}{6}\ln|x-1|+\frac{1}{6}\ln|x+5|+\mathrm{C}`

15. Zderivujte funkci `f(x)=\sin3x\cdot\cos3x`.

    `\cos 3x-\sin^2 3x`
    `3\cos^2 3x-3\sin^2 3x`
    `3\cos 3x+3\sin^2 3x`
    `\cos^2 3x+\sin^2 3x`

16. Určete plochu ohraničenou křivkami `y=|x|` a `y=2x^2-1`.

    `\frac{2\sqrt{2}}{3}`
    `\frac{5}{3}`
    -2
    `\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1)`

17. Najděte derivaci funkce `f(x)=\ln(\sin2x)`.

    `2\mathrm{tg}(x)`
    `\mathrm{tg}(2x)`
    `\mathrm{cotg}(2x)`
    `2\mathrm{cotg}(2x)`

18. Určete limitu `\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2+4}{x-2}`:

    Limita neexistuje
    4
    8
    `+\infty`

19. Určete limitu `\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+5x-6}{x-x^2}`:

    -1
    1
    -7
    7

20. Určete limitu `\lim\limits_{x\to2}\frac{x^4-x^3+2x^2-5x+2}{x-2}`:

    Limita neexistuje
    `-\infty`
    11
    6

21. Určete limitu `\lim\limits_{x\to\pi}\frac{\tan x}{\sin 2x}`:

    `\frac{1}{2}`
    1
    2
    0

22. Určete limitu `\lim\limits_{x\to\0}\frac{x}{\sqrt {x+9}-3}`:

    0
    3
    6
    7

23. Derivace `(x^2+1)^{2002}` je rovna:

    `4004x(x^2+1)^{2001}`
    `2002x(x^2+1)^{2001}`
    `2002(x^2+1)^{2001}`
    `2x(x^2+1)^{2001}`

24. Derivace `\cot (3x - \frac{\Pi}{4})` je rovna:

    `\frac{{3}}{\sin^{2}(3x-\frac{{\Pi}}{4})}`
    `-\frac{{3}}{\sin^{2}(3x-\frac{{\Pi}}{4})}`
    `3\tan(3x-\frac{{\Pi}}{4})`
    `-3\tan(3x-\frac{{\Pi}}{4})`

25. Derivace `e^{x^2-x+1}` je rovna:

    `e^{x^2-x}`
    `e^{x^2-x+1}`
    `e^{(x^2-x+1)(2x-1)}`
    `(2x-1)e^{x^2-x+1}`

26. Derivace `\ln (2x+4)` je rovna:

    `\frac{1}{2}`
    `\ln 2`
    `\frac{1}{x+2}`
    `\frac{1}{2x+4}`

27. Najděte primitivní funkci k `f(x)=\mathrm{e}^x(x^2+3x+1)`

    `\mathrm{e}^x(x+1)`
    `\mathrm{e}^x(x^2+5x+4)`
    `\mathrm{e}^x(x+3)`
    `\mathrm{e}^x(x^2+x)`

28. Spočítejte `\lim\limits_{x\to\pm\infty}\ \frac{(x+2)^2}{4x^2-1}`

    `\lim\limits_{x\to-\infty}\ =\ 0,\ \lim\limits_{x\to+\infty}\ =\ 0`
    `\lim\limits_{x\to-\infty}\ =\ \frac{1}{4},\ \lim\limits_{x\to+\infty}\ =\ \frac{1}{4}`
    `\lim\limits_{x\to-\infty}\ =\ -\infty,\ \lim\limits_{x\to+\infty}\ =\ +\infty`

29. Vypočtěte `\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2x\sin x\mathrm{d}x`

    `\frac{1}{4}`
    `\frac{2}{3}`
    `\frac{1}{3}`
    `\frac{2}{4}`

30. Vypočtěte `\int_1^{\mathrm{e}}\left(-\frac{3}{x}+2\right)\mathrm{d}x`

    `2\mathrm{e}-5`
    `5\mathrm{e}-4`
    `\ln{2}-5`
    `3\mathrm{e}-4`

31. Vypočtěte `\int_{-\frac{\pi}{2}}^0\sin x\cos x\mathrm{d}x`

    `\frac{3\pi}{4}`
    `-\frac{3\pi}{2}`
    `\frac{3\pi}{2}`
    `-\frac{1}{2}`

32. Vypočtěte `\int_1^{\mathrm{e}}\ln{x}\mathrm{d}x`

    `\frac{3}{2}`
    1
    `\frac{1}{2}`
    `\mathrm{e}+1`

33. Vypočtěte `\int_0^1\frac{x}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x`

    `-\frac{1}{2}`
    `\frac{1}{3}`
    `\frac{1}{4}`
    `\ln{2}`

34. Vypočtěte `\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cdot\cos x\mathrm{d}x`

    -0.5π
    `\frac{\pi}{2}-1`
    2π
    `\frac{1}{4}-\pi`

35. Vypočtěte `\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin x}\mathrm{d}x`

    `\ln(\mathrm{e}+1)-\ln2`
    `\ln 2`
    0
    `\frac{1}{\ln3}`

36. Vypočtěte limitu funkce `f(x)=\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}`, když x se blíží k 3.

    `-\frac{1}{16}`
    Limita neexistuje
    `-\infty`
    `\infty`

37. Vypočítejte limitu funkce `\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{\sin x-\cos x}{1-\mathrm{tg} x}`

    `\frac{3\pi}{4}`
    -0.5
    `-\frac{\sqrt{2}}{2}`
    `\frac{1}{2}`

38. Vypočtěte `\lim\limits_{x\to0}\ \frac{\sqrt[3]{1+ax}}{x},\ a \in \mathbb{R}`

    `\frac{1}{3a}`
    0
    a
    `\frac{a}{3}`

39. Vypočtěte `\lim\limits_{x\to0}\ \frac{1-\sqrt{1-x}}{x}`

    `\frac{3}{4}`
    `\frac{1}{2}`
    `\frac{2}{3}`
    `\frac{2}{5}`

40. Vypočítejte limitu funkce `f(x)=\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{x^3}`, když x se blíží k 0

    `\frac{1}{4}`
    `\frac{3}{4}`
    0.5
    1

41. Vypočítejte limitu `\lim\limits_{x\to1}\ \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}`

    `\frac{2\pi}{3}`
    `\frac{2}{5}`
    `\frac{2}{3}`
    `\frac{2\pi}{5}`

42. Vypočtěte limitu `\lim\limits_{x\to1-} \frac{1-x}{|1-x|}`

    1
    Limita neexistuje
    -1
    0

43. Vypočítejte `\lim\limits_{x\to0-}\ \frac{x}{|\mathrm{tg}x|}`

    0
    Limita neexistuje
    1
    -1

44. Vypočítejte limitu `\lim\limits_{x\to\infty}\ \frac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}}{x}`

    0
    `-\frac{1}{2}`
    2
    `\frac{1}{2}`

45. Vypočítejte `\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{2x+1}\right)`

    0.25
    1
    0.5
    0.75

46. Vypočítejte první derivaci funkce `f(x)=\frac{\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}{x^2}`

    `\frac{3\sqrt{x^2}}{2x^3}`
    `-\frac{\sqrt{x}}{2x^3}`
    `-\frac{3\sqrt{x}}{2x^3}`
    `\frac{3\sqrt{x}}{2x^2}`

47. Vypočítejte `(x\cdot\sin x+\cos x)'`

    `x\cdot\sin x`
    `\cos x`
    `x\cdot\cos x`
    `x\cdot\cos x+\sin x`

48. Vypočítejte první derivaci funkce `f(x)=x\mathrm{e}^x-x^2\ln{x}+\frac{x^2}{2}`

    `\mathrm{e}^x(x^2+x)`
    `\mathrm{e}^x(x+1)`
    `\mathrm{e}`
    `\mathrm{e}^x`

49. Vypočtěte první derivaci funkce `y=x+\mathrm{e}^{-x}`

    `1+\mathrm{e}`
    `\mathrm{e}^x`
    `\mathrm{e}`
    `1-\mathrm{e}^{-x}`

50. Vypočtěte druhou derivaci funkce `y=\frac{1}{2}x^3-5x^2+7x-3`

    x+5
    Druhá derivace neexistuje
    3x-10
    `\frac{3}{2}x^2-10x+7`

51. Najděte druhou derivaci funkce `y=\frac{1}{x}`

    `-\frac{1}{x^3}`
    `\frac{2}{x^3}`
    `-\frac{1}{x^2}`
    `\frac{1}{x^3}`

52. Vypočítejte druhou derivaci funkce `y=\cos2x`

    `-4\cos2x`
    `4\cos2x`
    `-4\sin2x`
    `4\sin2x`

53. Napište rovnici tečny grafu funkce `y=\frac{3x-1}{2x+3}` v bodě `T[0,\ y_0]`

    `t:\ -9x+11y-3=0`
    `t:\ 11x-9y-3=0`
    `t:\ -9x+11y+3=0`
    `t:\ 11x-9y+3=0`

54. Napište rovnici tečny funkce `f(x)=\frac{2x^2-1}{x+1}` v bodě `T[-\frac{1}{2},\ y_0]`

    `t:\ x+2y-2=0`
    `t:\ x+2y+2=0`
    `t:\ 2x+y+2=0`
    `t:\ 2x+y-2=0`

55. Vypočítejte `\int\ \frac{5}{2x-3}\mathrm{d}x`

    `\ln|2x-3|+\mathrm{C}`
    `5\ln|\frac{x-3}{2}|+\mathrm{C}`
    `\frac{5}{2}\ln|2x-3|+\mathrm{C}`
    `\frac{2}{5}\ln|2x-3|+\mathrm{C}`

56. Vypočítejte `\int\ \frac{5x}{3x^2+1}\mathrm{d}x`

    `\frac{5}{3}\ln(3x^2+1)+\mathrm{C}`
    `\frac{5}{6}\ln(6x)+\mathrm{C}`
    `\frac{5}{6}\ln(3x^2+1)+\mathrm{C}`
    `\frac{5}{3}\ln(6x)+\mathrm{C}`

57. Vypočtěte `\int\ 5x\mathrm{e}^{x^2}\mathrm{d}x`

    `5\mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}`
    `1\cdot\mathrm{e}^{x^2}+\mathrm{C}`
    `\frac{5}{2}\mathrm{e}^{x^2}+\mathrm{C}`
    `\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}`