navtype_mat_bez.gif

Zlomky - sčítání, odčítání, násobení a dělení

Vydáno dne 22.11.2009 22:37:09 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 206776;

Sčítání, odčítání, násobení, dělení a krácení zlomků


Moto motocykl

Množina čísel se dá rozdělit na několik podmnožin → celá čísla, přirozená čísla, racionální čísla, reálná čísla, nebo čísla komplexní. Dnes se budeme zabývat skupinou racionálních čísel - tedy čísel, které se dají zapsat jako podíl dvou přirozených čísel.

Zlomek se skládá ze tří částí: čitatele, zlomkové čáry a jmenovatele.

Pozor, zlomek dává smysl, pouze tehdy, když ve jmenovateli je číslo různé od nuly. V opačném případě není zlomek definován.

Krácení zlomků

Zlomky \frac{2}{4} a \frac{1}{2} představují stejné číslo, tedy 0.5. Je tedy v podstatě jedno, kterou formu zápisu použijete. Ale je zvyklostí psát zlomky v jejich základním tvaru, tedy tvaru, který již nejde zjednodušit. Postup zjednodušování zlomků se nazývá krácení a jedná se o postup většinou relativně lehký. Jediné, co musíme udělat je najít takové číslo x, kterým můžeme beze zbytku vydělit čitatele i jmenovatele daného zlomku

Pokud máme zlomek \frac{10}{4}, jasně vidíme, že čitatele i jmenovatele můžeme vydělit dvěma a získáme zlomek \frac{5}{2}. Ale u některých zlomků to není takto jednoduché. Zkuste zkrátit zlomek \frac{369}{15}. Postup v takovémto příkladě je následující: Nejprve musíme najít největšího společného dělitele čísel 369 a 15 (přejít na článek Největší společný dělitel).

NSD(369, 15) = 3
Největší společný dělitel je číslo 3 → musíme tedy čitatele i jmenovatele vydělit třemi
\frac{369}{15}=\frac{123}{5}

Vždy, když počítáte se zlomky, pokuste se je nejprve vykrátit. Ušetříte si tím práci se zbytečně velkými čísly.

Rozšiřování zlomků

Rozšiřování zlomků funguje na podobném principu jako krácení zlomků - každý zlomek lze vynásobit jakýmkoliv číslem x (x ≠ 0) a získáme zlomek stejné hodnoty: \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\cdot 4=\frac{8}{12}.

Této vlastnosti zlomků využijeme zejména tehdy, snažíme-li se převést zlomky na společného jmenovatele.

Sčítání zlomků

Zlomky se dají sečíst pouze tehdy, mají-li jmenovatele obou zlomků stejné hodnoty. V případě, že nemají, musíme jeden ze zlomků rozšířit nějakým číslem tak, aby jmenovatele byly stejné.

Vypočítejte: \frac{2}{3}+\frac{4}{3}. Jmenovatele obou zlomků jsou stejné → můžeme se pustit do sčítání. Pozor: Při sčítání zlomků sčítáme pouze čitatele, jmenovatel pouze opíšeme. Výsledek tedy je \frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}. Výsledek ještě můžeme krátit dvěma: \frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2

Vypočítejte: \frac{3}{4}+\frac{5}{3}. Jmenovatele nejsou stejné → musíme najít společného jmenovatele. Jedná se o číslo 12. Rozšíříme tedy oba zlomky tak, aby ve jmenovateli měli číslo 12: \frac{3}{4}+\frac{5}{3}=\frac{9}{12}+\frac{20}{12}=\frac{29}{20}.

Obecný vzorec pro sčítání zlomků je: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x\cdot b+y\cdot a}{a\cdot b}

Odčítání zlomků

Je skoro stejné jako sčítání zlomků s tím rozdílem, že čitatele se od sebe odečítají:

\frac{2}{5}-\frac{8}{3}=\frac{6}{15}-\frac{40}{15}=-\frac{34}{15}

Násobení zlomků

Násobení zlomků je pravděpodobně jedna z nejlehčích operací, které můžete se zlomky dělat. Stačí, když vynásobíte čitatele prvního zlomku s čitatelem druhé zlomku a získáte čitatel výsledného zlomku. Stejný postup provedete pro získání jmenovatele. Jinými slovy:

\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}=?
Vynásobíme spolu čitatele a jmenovatele obou zlomků:
\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 1}{\5\cdot 4}=\frac{1}{20}

Obdobně spočítejte příklad \frac{4}{3}*\frac{1}{8}

\frac{4}{3}*\frac{1}{8} = \frac{4\cdot 1}{3\cdot 8} = \frac{4}{24}
Zlomek můžeme krátit:
\frac{4}{24} = \frac{1}{6}

V předchozím příkladě jsme krátili až výsledek, ale je možné krátit již v samotném zápisu násobení. Toto krácení se nazývá křížem, protože krátíme čitatel první zlomku se jmenovatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku s čitatelem druhého zlomku. Krácení probíhá podle pravidel pro krácení normálního zlomku:

\frac{2}{3}\cdot\frac{15}{4}=?
Krátíme:
\frac{\fbox{2}}{3}\cdot\frac{15}{\fbox{4}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{15}{2}
Ještě můžeme krátit jmenovatele prvního zlomku s čitatelem druhého zlomku:
\frac{1}{\fbox{3}}\cdot\frac{\fbox{15}}{2} = \frac{1}{1}\cdot\frac{5}{2}
Výsledek = \frac{5}{2}

Obecný vzoreček pro násobení zlomků je \frac{x}{a}\cdot\frac{y}{b}=\frac{x\cdot y}{a\cdot b}

Dělení zlomků

Pokud již umíte násobení zlomků, není se čeho bát. Dělení je totiž násobení obrácenou hodnotou. Pokud tedy dostanete příklad \frac{5}{2}:\frac{15}{4} jistě si s ním poradíte.

\frac{5}{2}:\frac{15}{4}=?
Musíme zlomek \frac{5}{2} vynásobit obrácenou hodnotou zlomku \frac{15}{4}
Obrácenou hodnotu najdeme jako \frac{1}{\frac{15}{4}} = \frac{4}{15}
\frac{5}{2}:\frac{15}{4}=\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{15}=\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3} = \fbox{\frac{2}{3}}

Hledáním obrácené hodnoty zlomku se nenechte rozhodit! Nejedná se o nic složitého, prostě se zamění čitatel se jmenovatelem.

Zjednodušte následující výraz:

\left(\frac{2+\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{2}{7}}:\frac{7}{3}\right)\cdot\frac{4}{3}
Začneme tím, že zjednodušíme horní a dolní část toho největšího zlomku:
\left(\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{14}}:\frac{7}{3}\right)\cdot\frac{4}{3}
Nyní odstraníme složený zlomek a zároveň výraz vynásobíme obrácenou hodnotou \frac{7}{3}
\frac{7}{2}\cdot\frac{14}{3}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{3}
Nyní vše vynásobíme a pokrátíme; získáme výsledek:
\left(\frac{2+\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{2}{7}}:\frac{7}{3}\right)\cdot\frac{4}{3} = \frac{28}{3}

Porovnávání zlomků

Porovnávat čísla jistě umíte. Ale zvládnete to samé i se zlomky? Schválně zkuste porovnat zlomky \frac{2}{3} a \frac{4}{9}. Na první pohled není úplně jasné, který zlomek je větší. Abychom to mohli určit na první pohled, je třeba převést oba zlomky na stejného jmenovatele (v tomto případě to bude na 9.

\frac{2}{3}=\frac{6}{9}\\\frac{4}{9}=\frac{4}{9}

Když mají zlomky stejného jmenovatele, tak porovnáváme pouze čitatele.

\frac{4}{9}\lt\frac{2}{3}

Řešené příklady

\frac{7}{5}+\frac{3}{4}+1\ =\ \frac{4\cdot7}{20}+\frac{5\cdot3}{20}+\frac{20}{20}\ =\ \frac{28+15+20}{20}\ =\ \frac{63}{20}
\frac{1}{2}-\frac{3}{4}-\frac{5}{6}\ =\ \frac{6\cdot1}{12}-\frac{3\cdot3}{12}-\frac{2\cdot5}{12}\ =\ \frac{6-9-10}{12}\ =\ -\frac{13}{12}
\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}\ =\ \frac{18}{56}\ =\ \frac{9}{28}
\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}\ =\ \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{1}\ =\ \frac{12}{5}

5) Upravte \left[\frac{1}{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)\right]:\frac{5}{6}



Nejprve musíme upravit výraz uvnitř hranatých závorek.

\frac{1}{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=-\frac{1}{6}

Dosadíme a vydělíme (dělení je násobení obrácenou hodnotou):

\left[\frac{1}{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)\right]:\frac{5}{6}=\left(-\frac{1}{6}\right):\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{5}=-\frac{1}{5}

6) Upravte výraz \frac{1}{2}-\left[\frac{1}{3}:\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{12}\right)\right]



Začneme tím, že upravíme výraz uvnitř kulatých závorek.

\frac{3}{4}+\frac{5}{12}=\frac{9+5}{12}=\frac{7}{6}

Upravíme výraz uvnitř hranatých závorek:

\frac{1}{3}:\frac{7}{6}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{7}=\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{7}=\frac{2}{7}

A nyní stačí odečíst dva zlomky

\frac{1}{2}-\left[\frac{1}{3}:\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{12}\right)\right]=\frac{1}{2}-\frac{2}{7}=\frac{7}{14}-\frac{4}{14}=\frac{3}{14}

Pokročilejší úpravy výrazů najdete v článku: Úpravy lomených výrazů



Zkuste odpovědět na následující otázku:

Určete obsah plochy ohraničené křivkami y=|x| a y=\sqrt{2-x}.

\frac{13}{6}

\frac{5}{6}

\frac{14}{3}

\frac{11}{3}





Jakub Vojáček



Komentáře:

Moto motocykl