Využití derivace - Optimalizační úlohy

Optimalizační úloha je slovní úloha, ve které hledáme největší nebo nejmenší možnou hodnotu nějaké veličiny: největší obsah zahrady, nejmenší spotřebu plechu na plechovku, nejlevnější cestu. Řeší se derivací. Hledanou veličinu vyjádříme jako funkci jedné proměnné, derivaci položíme rovnou nule a ověříme, že v nalezeném bodě je opravdu maximum, nebo minimum:

`\begin{gathered} f'(x_0) = 0 \\[8pt] f' \ \text{z}\ + \ \text{na}\ - \ \Rightarrow\ \text{maximum} \\[8pt] f' \ \text{z}\ - \ \text{na}\ + \ \Rightarrow\ \text{minimum} \end{gathered}`

Nejtěžší bývá první krok, sestavit správnou funkci. Samotné derivování je pak obvykle snadné, většinou jde o mnohočleny a zlomky typu `\frac{1}{x}`. Pravidla derivování shrnuje článek Základy derivace a hledání extrémů obecné funkce článek Průběh funkce - Hledání extrémů. Tady jde o to, jak se derivace použije ve slovní úloze.

Níže je postup krok za krokem, pět řešených úloh od nejjednodušší po úlohu s odmocninou, tři způsoby, jak ověřit maximum či minimum, tabulka výsledků klasických úloh, časté chyby a pět cvičení s řešením.

Postup řešení optimalizační úlohy

1. Nakreslete obrázek a pojmenujte proměnné (strany, výšku, vzdálenost).
2. Napište, co se má maximalizovat nebo minimalizovat (obsah, objem, cenu), a podmínku, kterou zadání určuje (daný obvod, objem, délku pletiva).
3. Z podmínky vyjádřete jednu proměnnou a dosaďte ji. Hledaná veličina pak musí záviset jen na jedné proměnné.
4. Určete, jaké hodnoty proměnná smí mít: délka je kladná, výřez nesmí být větší než polovina strany plechu. Obvykle vyjde interval.
5. Zderivujte, vyřešte rovnici `f'(x) = 0` a nechte jen řešení, která leží v tom intervalu.
6. Ověřte, že jde o maximum (minimum): znaménkem derivace, druhou derivací nebo porovnáním s hodnotami v krajních bodech.
7. Dopočítejte všechno, na co se úloha ptá, a odpovězte větou.

Derivování mocnin, ze kterých se tyto funkce skládají, si můžete procvičit v derivaci mocniny.

Řešené příklady

Příklad 1: dva sčítance s největším součinem

Rozdělte číslo 30 na dva sčítance tak, aby jejich součin byl co největší.

Sčítance označíme `x` a `y`. Podmínka je `x + y = 30`, maximalizujeme součin `xy`. Z podmínky je `y = 30 - x` a po dosazení:

`f(x) = x(30 - x) = -x^2 + 30x`

Derivujeme a derivaci položíme rovnou nule:

`\begin{gathered}f'(x) = -2x + 30 \\[6pt] -2x + 30 = 0 \\[6pt] x = 15\end{gathered}`

Pro `x \lt 15` je derivace kladná a funkce roste, pro `x \gt 15` je záporná a funkce klesá. V bodě 15 je tedy maximum. Druhý sčítanec je `y = 30 - 15 = 15` a největší součin je `15 \cdot 15 = 225`.

Zkouška: `14 \cdot 16 = 224` a `10 \cdot 20 = 200`, obojí je méně. Funkce je kvadratická, takže maximum je vrchol paraboly a dá se najít i bez derivace; ověřit ho můžete kalkulačkou vrchol paraboly. Derivace se vyplatí u funkcí, které kvadratické nejsou, jako v dalších příkladech.

Příklad 2: zahrada u zdi

Zahradu tvaru obdélníku chceme ohradit 60 metry pletiva. Jednou stranou přiléhá ke zdi, tam pletivo není potřeba. Jaké má mít rozměry, aby měla co největší obsah?

Strany kolmé ke zdi označíme `x`, stranu rovnoběžnou se zdí `y`. Pletivo vede jen po třech stranách, takže `2x + y = 60` a `y = 60 - 2x`. Obsah:

`S(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x`

Obě strany musí být kladné, proto `x \in (0;\ 30)`.

`\begin{gathered}S'(x) = -4x + 60 \\[6pt] -4x + 60 = 0 \\[6pt] x = 15\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Derivace mění znaménko z plus na minus, je to maximum. Strana podél zdi je `y = 60 - 30 = 30\ \mathrm{m}`. Zahrada má rozměry 15 m × 30 m a obsah 450 m². Zkouška: pro `x = 14` i `x = 16` vyjde 448 m².

Strana u zdi je dvakrát delší než strany k ní kolmé. Kdyby zeď nebyla a 60 m pletiva vedlo kolem dokola, vyšel by stejným postupem čtverec 15 × 15 m s obsahem jen 225 m². Obecně platí, že ze všech obdélníků se stejným obvodem má největší obsah čtverec: obdélník s obvodem 20 cm má největší obsah 25 cm², když má strany 5 cm a 5 cm.

Příklad 3: krabice z plechu s největším objemem

Ze čtvercového plechu o straně 30 cm vystřihneme v rozích čtyři stejné čtverečky a okraje ohneme nahoru. Vznikne krabice bez víka. Jak velké čtverečky vystřihnout, aby měla krabice co největší objem?

Strana vystřiženého čtverečku `x` je výška krabice a dno je čtverec o straně `30 - 2x`. Objem:

`\begin{gathered}V(x) = x(30 - 2x)^2 \\[6pt] V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\end{gathered}`

Výřez musí být kladný a menší než polovina strany, tedy `x \in (0;\ 15)`. Derivace:

`\begin{aligned} V'(x) &= 12x^2 - 240x + 900 \\[6pt] &= 12(x^2 - 20x + 75) \\[6pt] &= 12(x - 5)(x - 15) \end{aligned}`

Derivace je nulová pro `x = 5` a `x = 15`. Hodnota 15 do intervalu nepatří: krabice by neměla žádné dno a její objem by byl nulový. Zbývá `x = 5`. Druhá derivace `V''(x) = 24x - 240` tam vyjde `V''(5) = -120 \lt 0`, takže je to maximum.

Vystřihneme čtverečky o straně 5 cm. Krabice má dno 20 × 20 cm, výšku 5 cm a objem `20 \cdot 20 \cdot 5 = 2\,000\ \mathrm{cm^3}`, tedy 2 litry. Zkouška: pro `x = 4` vyjde 1 936 cm³, pro `x = 6` jen 1 944 cm³. Objem si můžete přepočítat na kalkulačce kvádru (povrch tam vyjde i s víkem, které krabice nemá).

Příklad 4: plechovka s nejmenší spotřebou plechu

Plechovka tvaru válce má mít objem 0,5 litru, tedy 500 cm³. Jaký má mít poloměr podstavy `r` a výšku `v`, aby se na ni spotřebovalo co nejméně plechu?

Spotřebu plechu udává povrch válce, tedy plášť a dvě podstavy: `S = 2\pi r^2 + 2\pi r v`. Podmínkou je objem `\pi r^2 v = 500`, odkud `v = \frac{500}{\pi r^2}`. Po dosazení:

`\begin{gathered}S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{500}{\pi r^2} \\[10pt] S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{1000}{r}\end{gathered}`

Poloměr může být jakékoli kladné číslo. Zlomek `\frac{1000}{r} = 1000\,r^{-1}` má derivaci `-\frac{1000}{r^2}`:

`\begin{gathered}S'(r) = 4\pi r - \dfrac{1000}{r^2} \\[10pt] 4\pi r - \dfrac{1000}{r^2} = 0 \\[10pt] 4\pi r^3 = 1000 \\[10pt] r^3 = \dfrac{250}{\pi} \\[10pt] r = \sqrt[3]{\dfrac{250}{\pi}} \doteq 4{,}30\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Pro menší `r` je derivace záporná, pro větší kladná, je to minimum. Výšku nespočítáme ze zaokrouhleného poloměru, ale využijeme rovnost `\pi r^3 = 250`:

`\begin{aligned} v &= \dfrac{500}{\pi r^2} = \dfrac{2 \cdot 250}{\pi r^2} \\[10pt] &= \dfrac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \doteq 8{,}60\ \mathrm{cm} \end{aligned}`

Nejméně plechu spotřebuje plechovka, jejíž výška se rovná průměru podstavy, a to platí pro jakýkoli objem. Povrch je asi 348,7 cm². Pro srovnání: válec o stejném objemu s poloměrem 3,5 cm potřebuje 362,7 cm², s poloměrem 5 cm 357,1 cm². Na kalkulačce válce s poloměrem 4,3013 cm a výškou 8,6025 cm vyjde objem asi 500 cm³ a povrch 348,7 cm².

Skutečné plechovky bývají vyšší a užší. Víčko a dno jsou z tlustšího plechu, záleží i na lemu, na tom, jak se plechovka drží v ruce, a kolik se jich vejde do krabice. Derivace najde optimum pro model, který jí dáme. Pro hrnec bez pokličky, tedy s jedinou podstavou `S = \pi r^2 + 2\pi r v`, vyjde stejným postupem `v = r`: výška se rovná poloměru.

Příklad 5: nejlevnější cesta z továrny do města

Továrna `T` je 5 km od přímé silnice, která vede do města `M`. Vzdušná vzdálenost továrny od města je 13 km. Z továrny se postaví nová cesta, která se na silnici napojí v bodě `C`. Přeprava tuny nákladu stojí po silnici 5 Kč za kilometr, po nové cestě 15 Kč za kilometr. Kde a pod jakým úhlem se má cesta na silnici napojit, aby byla doprava co nejlevnější?

Bod `P` je pata kolmice z továrny na silnici. Podle Pythagorovy věty je `|PM| = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\ \mathrm{km}`. Vzdálenost bodu `C` od `P` označíme `s`. Nová cesta `TC` má délku `\sqrt{25 + s^2}` a po silnici zbývá `12 - s` kilometrů. Cena přepravy jedné tuny:

`K(s) = 15\sqrt{25 + s^2} + 5(12 - s)`

Smysl má `s \in \langle 0;\ 12 \rangle`. Odmocninu derivujeme jako složenou funkci, `\left(\sqrt{25 + s^2}\right)' = \frac{s}{\sqrt{25 + s^2}}`:

`K'(s) = \dfrac{15s}{\sqrt{25 + s^2}} - 5`

Rovnice `K'(s) = 0`:

`\begin{gathered}15s = 5\sqrt{25 + s^2} \\[10pt] 3s = \sqrt{25 + s^2} \\[10pt] 9s^2 = 25 + s^2 \\[10pt] s^2 = \dfrac{25}{8} \\[10pt] s = \dfrac{5}{2\sqrt{2}} \doteq 1{,}77\ \mathrm{km}\end{gathered}`

Umocnění není ekvivalentní úprava, ale pro kladné `s` rovnost `3s = \sqrt{25 + s^2}` platí, takže kořen sedí. Interval je uzavřený, a tak porovnáme cenu v nalezeném bodě s cenou v obou krajních bodech:

Nejlevnější je napojit cestu asi 1,77 km od paty kolmice směrem k městu. Nová cesta je pak dlouhá `\sqrt{25 + \frac{25}{8}} \doteq 5{,}30\ \mathrm{km}`. Úhel `\alpha`, který svírá se silnicí, splňuje `\cos \alpha = \frac{s}{|TC|} = \frac{1}{3}`, takže `\alpha \doteq 70{,}5^\circ`, přesněji `70^\circ 32'`. Kalkulačka arkuskosinus pro hodnotu `\frac{1}{3}` vypíše 70,53°.

Výsledek `\cos \alpha = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}` je poměr obou cen za kilometr a nezávisí na vzdálenostech 5 a 13 km. Kdyby ale bylo město blíž, než kam vychází bod `C`, bylo by nejlevnější vést cestu rovnou do města.

Jak poznat, že jde o maximum, nebo minimum

Rovnice `f'(x) = 0` najde jen kandidáty. Jestli je v nich maximum, minimum, nebo ani jedno, se ověřuje jedním ze tří způsobů:

• Znaménko derivace. Když se mění z `+` na `-`, je v bodě maximum, z `-` na `+` minimum (příklady 1, 2 a 4).
• Druhá derivace. `f''(x_0) \lt 0` znamená maximum, `f''(x_0) \gt 0` minimum (příklad 3). U plechovky je `S''(r) = 4\pi + \frac{2000}{r^3}` kladná pro každé kladné `r`, takže jde o minimum.
• Krajní body. Na uzavřeném intervalu spočítáme hodnoty ve všech kandidátech i na obou krajích a vybereme největší nebo nejmenší (příklad 5). Víc o tom v části největší a nejmenší hodnota na intervalu.

Pomůže i úvaha: objem krabice je nulový při nulovém výřezu i při výřezu 15 cm a mezi tím je kladný. Jediný stacionární bod uvnitř intervalu proto musí být maximum.

Výsledky klasických úloh

Tyto výsledky se v úlohách opakují. Hodí se znát je jako zkoušku, v písemce je ale potřeba celý postup.

Časté chyby

• Derivovat funkci dvou proměnných. Výraz `xy` nebo `2\pi r^2 + 2\pi r v` se derivovat nedá, dokud do něj nedosadíte podmínku a nezbude jediná proměnná.
• Zapomenout na interval. Rovnice `f'(x) = 0` může mít řešení, které nedává smysl: výřez 15 cm v příkladu 3, záporná délka, bod za městem.
• Neověřit, že jde o maximum. Derivace je nulová i v minimu. U krabice je v bodě 15 objem nejmenší možný, nulový.
• Odpovědět na jinou otázku. Úloha se ptá na rozměry nebo na cenu, ne na `x`. Dopočítejte druhou stranu, výšku, objem.
• Špatně spočítaný povrch. Uzavřená plechovka má dvě podstavy, hrnec jen jednu, krabice bez víka jen dno. Počítejte přesně to, co se spotřebuje.
• Zaokrouhlit příliš brzy. Kdo do vzorce pro výšku plechovky dosadí zaokrouhlené `r = 4{,}3`, dostane `v \doteq 8{,}61` a nevšimne si, že výška je přesně dvojnásobek poloměru.

Příklady k procvičení

`\begin{gathered}f'(x) = 1 - \dfrac{64}{x^2} = 0 \\[10pt] x^2 = 64,\quad x = 8\end{gathered}`

`\begin{gathered}S(a) = a^2 + \dfrac{128}{a} \\[10pt] S'(a) = 2a - \dfrac{128}{a^2} = 0 \\[10pt] a^3 = 64,\quad a = 4\ \mathrm{dm}\end{gathered}`

`\begin{gathered}S^2 = 4x^2(100 - x^2) = 400x^2 - 4x^4 \\[6pt] (S^2)' = 800x - 16x^3 = 16x(50 - x^2) \\[6pt] x^2 = 50,\quad x = 5\sqrt{2}\end{gathered}`

`\begin{gathered}d^2 = x^2 + (x^2 - 2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4 \\[6pt] (d^2)' = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3)\end{gathered}`

`\begin{gathered}T(p) = p(750 - 3p) = 750p - 3p^2 \\[6pt] T'(p) = 750 - 6p = 0 \\[6pt] p = 125\ \text{Kč}\end{gathered}`

Kam dál

• Procvičování: derivace mocniny, vrchol paraboly.
• Kalkulačky: vrchol paraboly (maximum a minimum kvadratické funkce), kořeny mnohočlenu (řešení rovnice `f'(x) = 0`), válec, kvádr.
• Články: Základy derivace, Průběh funkce - Hledání extrémů, Limity funkcí, Kvadratická rovnice.