navtype_mat_bez.gif

Goniometrický tvar komplexního čísla

Vydáno dne 22.11.2009 22:37:11 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 40956;

Naučíme se komplexní čísla vyjádřit v goniometrickém tvaru a na závěr si vysvětlíme Moivreovu větu.


Moto motocykl
[ K tomuto článku jsou přiřazeny některé testy ]

Přejít na test Komplexní čísla


V článku Algebraický tvar komplexního čísla jsme si vysvětlili, co to komplexní číslo vlastně je a jeho zápis v algebraickém tvaru. Tento článek se zabývá jiným způsobem zápisu komplexního čísla nazývaném- goniometrický tvar komplexního čísla.

Zakreslíme-li komplexní číslo do Gaussovy roviny, můžeme jeho polohu určit pomocí dvou souřadnic - souřadnice na ose x a ose y. Další způsob, jakým by šlo polohu daného komplexního čísla určit, je, podobně jako v polárním systému souřadnic, pomocí vzdálenosti komplexního čísla od počátku a úhlu, který svírá kladná poloosa x se spojnicí komplexního čísla a počátku. Obecný vzorec pro zápis čísla v goniometrickém tvaru by tedy byl:

¨
z=r(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)

, kde r je absolutní hodnota komplexního čísla a \varphi se nazývá argument.

Dvě komplexní čísla se rovnají pouze tehdy, rovnají-li se jejich absolutní hodnoty a jejich argumenty se liší o 2k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}.

Rovněž platí, že jakákoliv komplexní jednotka se dá zapsat jako z=\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi, protože |z|=\sqrt{\cos^2\varphi+i\cdot\sin^2\varphi}=\sqrt{1}=1

Převádění na goniometrický tvar z algebraického

Pokud bychom chtěli převést číslo z algebraického tvaru do goniometrického, stačí si nakreslit obrázek a z něho se to dá lehce určit.

Číslo na předchozím obrázku by se pomocí algebraické tvaru zapsalo jako 1+1i. Pokud bychom chtěli použít goniometrický tvar, museli bychom nejprve spočítat vzdálenost daného čísla od počátku. A ta je rovna absolutní hodnotě daného komplexního čísla. Další věc, co bychom museli spočítat je úhel α, který svírá kladná poloosa x se spojnicí počátku a daného komplexního čísla. V některých případech, jako je tento, není třeba nic počítat. Z obrázku je jasně vidět, že se jedná o úhel \frac{1}{4}\pi. Bohužel v jiných případech budeme muset použít následující vzorečku:

z=a+b\cdot i\\|z|=\sqrt{a^2+b^2}

z=|z|(\frac{a}{|z|}+i\cdot\frac{b}{|z|})\\
\cos\varphi=\frac{a}{|z|}, \ \ \ \sin\varphi=\frac{b}{|z|}\\z=|z|(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)

1) Převeďte číslo z=1-i\sqrt{3} do goniometrického tvaru.

Použijeme postup. který jsem popsal o několik řádku výše:

|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2
\cos\varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{1}{2}
\sin\varphi=\frac{b}{|z|}=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Abychom nyní našli velikost úhlu \varphi mohli bychom použít kalkulačku. Ale většina příkladů je zadána tak, aby kalkulačka nebyla vůbec potřeba, protože některé hodnoty jednotkové kružnice (přejít na článek Jednotková kružnice) je třeba si pamatovat.

Kosinus \frac{1}{2} odpovídá úhlům \frac{1}{3}\pi,\ \frac{5}{3}\pi. Sinus -\frac{\sqrt{3}}{2} odpovídá úhlům \frac{4}{3}\pi,\ \frac{5}{3}\pi. Průnikem těchto dvou množin je úhel \varphi=\frac{5}{3}\pi.

Komplexní číslo z se tedy zapíše jako z=2(\cos\frac{5}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{3}\pi)

2) V goniometrickém tvaru zapište číslo z=1+\cos\frac{1}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi.

Tento příklad není tak lehký, jako ten předchozí. Je třeba si uvědomit, že komplexní číslo v algebraickém tvaru má předpis z=a+b\cdot i=(1+\cos\frac{1}{3}\pi)+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi. Reálná část komplexního čísla se skládá ze dvou výrazů, ale to není problém. Prostě použijeme stejný vzoreček jako v předchozím příkladě.

|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left(1+\cos\frac{1}{3}\pi\right)^2+\left(\sin\frac{1}{3}\pi\right)^2}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}
|z|=\sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}

\cos\varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{1+\cos\frac{1}{3}\pi}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\sin\varphi=\frac{b}{|z|}=\frac{\sin{\frac{1}{3}\pi}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}
\varphi=\frac{1}{6}\pi

Platí tedy 1+\cos\frac{1}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi=\sqrt{3}\left(\cos\frac{1}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{6}\pi\right)

3) Vyzkoušíme si ještě opačný postup - převeďte číslo z=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{3}{4}\pi\right) do algebraického tvaru.

Nejedná se o nic těžkého - pouze vyjádříme hodnoty kosinu a sinu a závorku roznásobíme:

z=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\z=-\frac{6}{2}+i\frac{6}{2}=-3+3i

Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Násobení čísel v algebraickém tvaru nebyl žádný oříšek, zato násobení čísel v goniometrickém tvaru je o trochu těžší úkol. Zvolíme si dvě čísla v goniometrickém tvaru:

z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)\\z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)
z=z_1\cdot z_2=(r_1\cdot r_2)\left((\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)\right)
Druhou závorku můžeme roznásobit
z=(r_1\cdot r_2)\left(\cos\varphi_1\cdot\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\cdot\sin\varphi_2+i(\cos\varphi_1\cdot\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\cdot\sin\varphi_1)\right)
Nyní použijeme dva goniometrické vzorce
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha

z=\fbox{(r_1\cdot r_2)\left(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right)}

Odvodili jsme si tedy vzoreček pro násobení dvou komplexních čísel.

4) Vynásobte čísla z_1=\sqrt{2}(\cos\frac{1}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{4}\pi) a z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{3}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{3}{4}\pi).

z=z_1\cdot z_2\\|z|=|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1
\varphi=\varphi_1+\varphi_2=\frac{1}{4}\pi+\frac{3}{4}\pi=\frac{4}{4}\pi=\pi
z=1(\cos\pi+i\cdot\sin\pi)

Dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Podobně jako pro násobení si odvodíme vzoreček pro dělení dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru:

z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)\\z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)
z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1}{\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2}
Celý zlomek vynásobíme \cos\varphi_2-i\cdot\sin\varphi_2
z=\frac{r_1}{r_2}\frac{(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)\cdot(\cos\varphi_2-i\cdot\sin\varphi_2)}{cos^2\varphi_2+sin^2\varphi_2}=\frac{r_1}{r_2}\frac{\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2-\cos\varphi_1\sin\varphi_2)}{1}
Použijeme goniometrické vzorce
cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha

z=\fbox{\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\cdot\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right)}

5) Vydělte čísla z_1=1 a \cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi.

Nejprve musíme číslo z_1 vyjádřit v goniometrickém tvaru: 1=\cos0+i\cdot\sin0. Nyní stačí aplikovat vzorec, který jsme si odvodili o odstavec výše.

z=\frac{z_1}{z_2}=1\cdot\frac{\cos0+i\cdot\sin0}{\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi}=\cos-\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin-\frac{1}{2}\pi

Je dobré si zapamatovat vzoreček \frac{1}{\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi}=\cos(-\varphi)+i\cdot\sin(-\varphi)

Moivreova věta

Už umíme komplexní čísla násobit, nyní by se hodilo je umět umocňovat. A umocňování je vlastně násobení n-krát toho samého čísla, kde n je exponent.

z_1z_2\ldots z_n=r_1(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)\cdot r_2(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)\cdot\ldots\cdot r_n(\cos\varphi_n+i\cdot\sin\varphi_n)=\\=r_1r_1\ldots r_n\left(\cos(\varphi_1+\varphi_2+\ldots+\varphi_n)+i\cdot\sin(\varphi_1+\varphi_2+\ldots+\varphi_n)\right)
z^n=r^n\left(\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)\right)

Tohoto vzorce lze použít k umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru na libovolný přirozený exponent. Pokud umocňujete komplexní číslo v algebraickém tvaru na nějaký vyšší exponent, je obvykle jednoduší převést dané číslo do goniometrického tvaru a teprve pak ho umocnit.

Dosadíme-li do předchozího vzorce r=1, dostaneme větu, kterou v 18 století vyslovil francouzský matematika Moivre: (\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)^n=\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi).

6) Vypočítejte z=\left(\cos\frac{1}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{4}\pi\right)^{50}

Použijeme vzorec, který jsme si odvodili před chvílí.

z^n=r^n\left(\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)\right)
z=\left(\cos(50\cdot\frac{1}{4}\pi)+i\cdot\sin(50\cdot\frac{1}{4}\pi)\right)=\left(\cos\frac{25}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{25}{2}\pi\right)
Obvykle zapisujeme argument v intervalu \lt 0,\ 2\pi\gt
z=\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi

Procvičování

7) Vypočítejte z=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{-25}

Nejprve se musíme zbavit zlomku
\frac{1+i}{1-1}=\frac{1+i}{1-1}\cdot\frac{1+i}{1+1}=\frac{2i}{2}=i
Abychom mohli použít Moivreovu větu, musíme číslo převést do goniometrického tvaru
i=\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi
A nyní konečně můžeme umocňovat
z=i^{-25}=\left(\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi\right)^{-25}=\cos(-\frac{25}{2}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{25}{2}\pi)
z=\fbox{\cos\frac{3}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{3}{2}\pi}

8) V goniometrickém tvaru zapište číslo z=2i\sin\frac{1}{4}\pi(\cos\frac{7}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{7}{3}\pi)(\cos(-\frac{2}{3}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{2}{3}\pi))

Závorky můžeme roznásobit a první člen lze převést na číslo v algebraickém tvaru:

2i\sin\frac{1}{4}\pi=2i\frac{\sqrt{2}}{2}=i\sqrt{2}
(\cos\frac{7}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{7}{3}\pi)(\cos(-\frac{2}{3}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{2}{3}\pi))=\cos\frac{5}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{3}\pi
Počítáme tedy dál
z=2i\sin\frac{1}{4}\pi(\cos\frac{7}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{7}{3}\pi)(\cos(-\frac{2}{3}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{2}{3}\pi))=i\sqrt{2}\cdot(\cos\frac{5}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{3}\pi)
z=i\sqrt{2}\cdot(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{i\sqrt{2}}{2}-\frac{i^2\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}

Zápis tohoto čísla v goniometrickém tvaru by pro vás měla být již triviální záležitost a tak uvedu pouze výsledek: z=\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(\cos\frac{1}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{6}\pi). Pokud narazíte na nějaké nesrovnalosti, nebo budete mít nějaké otázky, nebojte se a ptejte se v komentářích.



Zkuste odpovědět na následující otázku:

Určete limitu \lim\limits_{x\to2}\frac{x^2+4}{x-2}:

Limita neexistuje

4

8

+\infty





Jakub Vojáček



Komentáře:

Moto motocykl