navtype_mat_bez.gif

Dělení mnohočlenů

Vydáno dne 08.11.2008 05:27:01 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 90014;

Naučíme se, jak dělit jeden mnohočlen jiným mnohočlenem se zbytkem.


Moto motocykl
[ K tomuto článku jsou přiřazeny některé testy ]

Přejít na test Dělení mnohočlenů


V podstatě se nejedná o těžkou látku, akorát je to zdlouhavý proces, ve kterém není těžké udělat chybu. Je to v podstatě krácení zlomků. Tuto problematiku si vysvětlíme převážně na příkladech:

1) Vyřešte příklad (x^2+x^4):x^2:

Musíme začít tím, že si oba dva členy srovnáme podle velikosti exponentu. Příklad tedy bude vypadat takto: (x^4+x^2):x^2. Nyní musíme vzít první člen prvního mnohočlenu a vydělit ho druhým mnohočlenem: \frac{x^4}{x^2} = x^2. To je první část výsledku: (x^4+x^2):x^2 = x^2. Nyní přichází na řadu opačný postup. Musíme vynásobit výsledek s dělitelem a odečíst získané číslo od prvního mnohočlenu (dělence). Tento postup budeme opakovat do té doby, než se z prvního mnohočlenu stane 0, popřípadě do té doby, než bude první mnohočlen mít menší exponent než druhý - vyšel nám zbytek.

(x^4+x^2):x^2 = x^2\\-\underbrace{(x^4)}\\ \ \ (x^2)

Po odečtení x^4 se z prvního mnohočlenu stane x^2. Nyní budeme postupovat naprosto stejným způsobem. Vydělíme tedy \frac{x^2}{x^2}=1. Tím získáme další člen výsledku. Nyní nás opět čeká násobení nového členu výsledku dělitelem a následné odečtení od prvního mnohočlenu:

(x^4+x^2):x^2 = x^2+1\\ \underbrace{-(x^4)}\\ \ \ (x^2)\\ \ \ \underbrace{-(x^2)}\\ \ \ \ \ \ \ \ 0

2) Toto byl velmi lehký příklad. Zkusíme složitější. Vyřešte příklad (x^2+4x):(x+1)

Vezmeme tedy první člen prvního mnohočlenu a vydělíme ho prvním členem druhého mnohočlenu: \frac{x^2}{x}=x. To je první člen výsledku. Nyní tedy musíme vynásobit celého dělitele číslem x a získaný výsledek odečíst od dělence (tedy prvního mnohočlenu).

(x^2+4x):(x+1)=x\\ \underbrace{-(x^2+x)}\\ \ \ \ \ +3x

Dalším krokem členem výsledku je tedy pochopitelně \frac{3x}{x} = 3. Opět musíme tímto výsledkem vynásobit dělitele a získaný výsledek odečíst od dělence:

(x^2+4x):(x+1)=x+3\\ \underbrace{-(x^2+x)}\\ \ \ \ \ 3x\\ \ \ \underbrace{-(3x+3)}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ -3

Dál dělit nemůžeme, protože -\frac{3}{x} už nejde zjednodušit. Zbytek je tedy -\frac{3}{x+1}. Celý příklad vypadá takto:

(x^2+4x):(x+1)=x+3-\frac{3}{x+1}\\ \underbrace{-(x^2+x)}\\ \ \ \ \ 3x\\ \ \ \underbrace{-(3x+3)}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ -3

3) Vyřešte příklad (-5x^4+4x^2-3x+4):(x^3+2x^2-4)

Příklady se postupně zdají složitější a složitější, nicméně to není pravda. Furt je to to stejné dokola. Tento příklad tedy začneme tak, že vyřešíme \frac{-5x^4}{x^3}=-5x. To je první část výsledku. Tímto tedy musíme vynásobit celého dělitele a získaný výsledek odečíst od dělence. A pak postupovat tímto způsobem do té doby, než se z dělence stane 0, popř. do té doby než zbytek nebude dělitelný dělitelem. Celý příklad tedy bude vypadat takto:

(-5x^4+4x^2-3x+4):(x^3+2x^2-4)=-5x+10+\frac{-16x^2-23x+44}{x^3+2x^2-4}\\\underbrace{-(-5x^4-10x^3+20x)}\\ \ \ 10x^3+4x^2-23x+4\\ \ \ \ \ \underbrace{-(10x^3+20x^2-40)}\\ \ \ \ \ \ \ -16x^2-23x+44

Existuje primitivní metoda dělení mnohočlenů lineárními mnohočleny; tato metoda se nazývá Hornerovo schéma.

Toť vše! Pokud máte nějaké nejasnosti, ptejte se v komentářích.



Zkuste odpovědět na následující otázku:

Zderivujte funkci f(x)=\sin3x\cdot\cos3x.

\cos^2 3x+\sin^2 3x

\cos 3x-\sin^2 3x

3\cos 3x+3\sin^2 3x

3\cos^2 3x-3\sin^2 3x





Jakub Vojáček



Komentáře:

Moto motocykl