navtype_mat_bez.gif

Usměrňování zlomků

Vydáno dne 24.05.2008 18:44:23 v kategorii Výrazy; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 68569;

Při operaci nazvané usměrňování zlomků se zbavujeme odmocnin ve jmenovateli, ale zachováváme hodnotu zlomku.


Moto motocykl
[ K tomuto článku jsou přiřazeny některé testy ]

Přejít na test Usměrnování zlomků


Jak už jsem naznačil, naučíme se odstraňovat odmocninu ze jmenovatele. V podstatě je to velmi lehká záležitost, ale je třeba si uvědomit několik věcí.

\frac{a}{b}=\frac{a*x}{b*x}

To byla první věc. Druhá věc je:

\sqrt{x}*\sqrt{x}=x

Vyzkoušíme si to na příkladu. Zkuste usměrnit zlomek \frac{1}{\sqrt{2}}. Ve jmenovateli máme √2. Proto celý zlomek vynásobíme \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}.

\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Vidíte, bylo to lehké;-) Vyzkoušíme si ještě pár příkladů:

Usměrněte zlomek: \frac{4}{2*\sqrt{2}}

V předchozím příkladě jsme násobili celý zlomek hodnotou jmenovatele, ale v tomto případě by to bylo zbytečné. Samozřejmě, že můžeme celý zlomek vynásobit \frac{2*\sqrt{2}}{2*\sqrt{2}}, ale lehčí řešení je to násobit pouze \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}. Takže celé by to vypadalo takto:

\frac{4}{2*\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4*\sqrt{2}}{2*\sqrt{2}*\sqrt{2}}=\frac{4*\sqrt{2}}{4}

Máme sice usměrněný zlomek, ale ještě můžeme vykrátit 4 a dostaneme výsledek:

\frac{4*\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}

Toto byly lehčí příklady. Menší problémy nastanou, pokud je ve jmenovateli více členů. Zkuste například usměrnit zlomek \frac{1}{1+\sqrt{x}}. Jestli vám vyšlo něco jako \frac{\sqrt{x}}{x+1}, tak je to špatně. Je třeba si uvědomit čím musíme zlomek vynásobit abychom se zbavili odmocniny. Totiž, pokud bychom násobili zlomek \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}, moc si nepomůžeme, protože:

\frac{1}{1+\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})*\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+x}

Jak vidíte, moc jsme si nepomohli. Odpověď nalezneme v následujícím příkladu:

(a+b)*(a-b)=a^2-b^2

Abychom se tedy zbavili odmocniny ve jmenovateli, musíme celý zlomek vynásobit \frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}.

\frac{1}{1+\sqrt{x}}*\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\frac{1-\sqrt{x}}{1^2-x}

Usměrněte zlomek \frac{x}{2*(\sqrt{x}-\sqrt{y})}. Tento příklad budeme řešit stejně jako předchozí. Ve jmenovateli máme dva členy (které násobíme dvojkou, ale to teď není důležité). Tyto členy jsou √x-√y. Abychom se jich zbavili, vynásobíme celý zlomek výrazem \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}:

\frac{x}{2*(\sqrt{x}-\sqrt{y})}*\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{x*(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{2*(x-y)}

Při usměrňování nesmíme zapomínat na podmínky. V posledním případě nesmí proměnná x nabývat hodnot menších než nula a zároveň se x ≠ 1.

Příklady

1) Usměrněte zlomek \frac{x}{\sqrt{x}}:

Jmenovatel má pouze jeden člen a proto stačí vynásobit celý zlomek \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \rightarrow \frac{x}{\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{x*sqrt{x}}{x}=\sqrt{x}

2) Usměrněte zlomek \frac{45+5x}{4*\sqrt(x+y)}:

Ve jmenovateli máme součin, tudíž stačí pokud celý zlomek vynásobíme odmocninou \frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}} \rightarrow \frac{45+5x}{4*\sqrt{x+y}}*\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}} = \frac{(45+5x)*\sqrt{x+y}}{4*(x+y)}.

3) Usměrněte zlomek \frac{5}{\sqrt{z}-x}

Toto už není tak lehký příklad. Vynásobení celého zlomku \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}} v tomto případě nepomůžeme. Přestože jsem to již v tomto článku jednou vysvětloval, radši to ještě připomenu → musíme se dobře podívat na vzorec (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 a nalezneme řešení. Musíme celý zlomek vynásobit \frac{\sqrt{z}+x}{\sqrt{z}+x}. Pokud toto uděláme, dostaneme výsledek: \frac{5}{\sqrt{z}-x}*\frac{\sqrt{z}+x}{\sqrt{z}+x}=\frac{5*(\sqrt{z}+x)}{z-x^2}

4) Usměrněte zlomek \frac{2*\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2*\sqrt{2}-sqrt{3}}:

\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}*\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{3}+6+4+\sqrt{2}\sqrt{3}}{8+2\sqrt{2}\sqrt{3}-2\sqrt{2}\sqrt{3}-3}=\frac{10+5\sqrt{6}}{5}=2+\sqrt{6}

Vyšší odmocniny

Doposud jsme si tady vysvětlovali, jak usměrňovat zlomky, kde je druhá odmocnina. Ale pochopitelně existují i zlomky s vyššími odmocninami ve jmenovateli. Postup usměrňování takovýchto zlomků je skoro stejný.

1) Usměrněte zlomek \frac{1}{\sqrt[3]{x}}

Pokud by tam nebyla ta třetí odmocnina, ale pouze normální, stačilo by zlomek vynásobit \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}, ale to v tomto případě fungovat nebude. Celý zlomek musíme totiž vynásobit \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}. Celý příklad by tedy vypadal následovně:

\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}*\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}

2) Usměrněte zlomek \frac{5+y}{4\sqrt[3]{y+x}}

\frac{5+y}{4\sqrt[3]{y+x}}*\frac{\sqrt[3]{(y+x)^2}}{\sqrt[3]{(y+x)^2}}=\frac{\sqrt[3]{(y+x)^2}(5+y)}{4*(y+x)}

Ještě vyšší odmocniny lze také samozřejmě upravit. Zkusme usměrnit zlomek \frac{4+y}{4\sqrt[n]{4-y}}

\frac{4+y}{4\sqrt[n]{4-y}}=\frac{4+y}{4\sqrt[n]{4-y}}*\frac{\sqrt[n]{(4-y)^{n-1}}}{\sqrt[n]{(4-y)^{n-1}}}=\frac{(4+y)\sqrt[n]{(4-y)^{n-1}}}{4*(4-y)}

Mohlo by se hodit: Částečné odmocňování

Toto by vám mělo stačit jako takový úvod do usměrňování zlomků. Pokud narazíte na nějaké nejasnosti, ptejte se v komentářích.



Zkuste odpovědět na následující otázku:

Vypočítejte \lim\limits_{x\to0-}\ \frac{x}{|\mathrm{tg}x|}

-1

1

0

Limita neexistuje





Jakub Vojáček



Komentáře:

Moto motocykl