navtype_mat_bez.gif

Úpravy lomených výrazů

Vydáno dne 12.11.2011 17:29:45 v kategorii Výrazy; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 1402;

Úprava lomených výrazů je základ, bez kterého se v matematice neobejdete.


Při úpravách lomených výrazů se často vytýká a často se využívají nejrůznější vzorce:

  • (a\ +\ b)^2\ =\ a^2\ +\ 2ab\ +\ b^2
  • (a\ -\ b)^2\ =\ a^2\ -\ 2ab\ +\ b^2
  • a^2\ -\ b^2\ =\ (a\ +\ b)(a\ -\ b)
  • a^3\ +\ b^3\ =\ (a\ +\ b)(a^2\ +\ ab\ +\ b^2)
  • a^3\ -\ b^3\ =\ (a\ -\ b)(a^2\ +\ ab\ +\ b^2)

A samozřejmě využijete znalosti operací se zlomky (přejít na článek Zlomky - sčítání, odčítání, násobení a dělení).

\frac{s^2\ -\ 4}{s^2\ -\ 4s\ +\ 4}\ =\ ?

Na první pohled se zlomek nedá již více zjednodušit. Ale podíváte-li se pozorně na čitatele a jmenovatele, můžete si všimnout, že se oba dají rozložit.

s^2\ -\ 4\ =\ (s\ +\ 2)(s\ -\ 2)
s^2\ -\ 4s\ +\ 4\ =\ (s\ -\ 2)^2\ =\ (s\ -\ 2)(s\ -\ 2)
Dosadíme do našeho příkladu:
\frac{s^2\ -\ 4}{s^2\ -\ 4s\ +\ 4}\ =\ \frac{(s\ +\ 2)(s\ -\ 2)}{(s\ -\ 2)(s\ -\ 2)}
A nyní již můžeme krátit. 
\frac{s^2\ -\ 4}{s^2\ -\ 4s\ +\ 4}\ =\ \frac{(s\ +\ 2)(s\ -\ 2)}{(s\ -\ 2)(s\ -\ 2)}\ =\ \frac{s\ +\ 2}{s\ -\ 2}

1) Upravte výraz: \frac{k^2+k}{kx-ky}



Vytknutím k v čitateli i v jmenovateli upravíme výraz do následující podoby:

\frac{k^2+k}{kx-ky}=\frac{k\cdot(k+1)}{k\cdot(x-y)}

Vykrátíme k (nesmíme zapomenou na podmínku k\neq0). 

\frac{k^2+k}{kx-ky}=\frac{k\cdot(k+1)}{k\cdot(x-y)}=\frac{k+1}{x-y}

2) Upravte výraz: \frac{x-3}{x^2-5x+6}

Výraz v čitateli se již nedá nějak upravit, ale výraz v jmenovateli se dá rozložit podle vzorce (x-a)(x-b)=x^2-ax-bx+ab

Je více způsobů, jak výraz ve jmenovateli upravit. Lze použít dělení mnohočlenů (přejít na článek Dělení mnohočlenů, hornerovo schéma Hornerovo schéma nebo prostě určit výsledek kvadratické rovnice x^2-5x+6=0). Jednou z těchto možností upravíme jmenovatel na:

x^2-5x+6 = (x-3)(x-2)

Po dosazení zpět do zlomku můžeme krátit.

\frac{x-3}{x^2-5x+6}=\frac{x-3}{(x-3)(x-2)}=\frac{1}{x-2}

Nesmíme zapomenout na podmínky x\neq2, x\neq3

3) Upravte výraz: \frac{a^3-b^3}{a-b}



Ukázkový příklad na aplikaci vzorce, který jsem uváděl na začátku a^3\ -\ b^3\ =\ (a\ -\ b)(a^2\ +\ ab\ +\ b^2)

\frac{a^3-b^3}{a-b}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}=a^2+ab+b^2

A jako obvykle podmínky: a\neq b

4) Upravte výraz: \frac{5a-5b}{4a+4b}\cdot\frac{8a+8b}{15a-15b}

V každém čitateli a jmenovateli v tomto výrazu se dá vytknout nějaké číslo:

\frac{5a-5b}{4a+4b}\cdot\frac{8a+8b}{15a-15b}=\frac{5(a-b)}{4(a+b)}\cdot\frac{8(a+b)}{15(a-b)}

Můžeme krátit:

\frac{5a-5b}{4a+4b}\cdot\frac{8a+8b}{15a-15b}=\frac{5(a-b)}{4(a+b)}\cdot\frac{8(a+b)}{15(a-b)}=\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}

5) Upravte výraz: \frac{a^3-8}{a^2+5a-14}\cdot\frac{a^2-49}{2a^2+4a+8}



Po aplikaci některých vzorců upravíme výraz na:

\frac{a^3-8}{a^2+5a-14}\cdot\frac{a^2-49}{2a^2+4a+8}=\frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{(a+7)(a-2)}\cdot\frac{(a+7)(a-7)}{2(a^2+2a+4)}

Krácením výraz upravíme na:

\frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{(a+7)(a-2)}\cdot\frac{(a+7)(a-7)}{2(a^2+2a+4)}=\frac{1}{1}\cdot\frac{(a-7)}{2}

Vynásobíme zlomky:

\frac{1}{1}\cdot\frac{(a-7)}{2}=\frac{a-7}{2}


Zkuste odpovědět na následující otázku:

Určete limitu \lim\limits_{x\to\pi}\frac{\tan x}{\sin 2x}:

2

\frac{1}{2}

0

1





Jakub Vojáček



Komentáře: