Trojúhelník - Vzorečky

Vydáno dne 24.05.2008 18:40:16 v kategorii Planimetrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 12388;

V tomto článku najdete rozsáhlý seznam vzorečků, které můžete použít při počítání s trojúhelníky

Následující vzorce se dají aplikovat na jakýkoliv trojúhelník (pravoúhlý, rovnostranný,...)

Kosinová věta:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha\\b^2=c^2+a^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta\\c^2=b^2+a^2-2\cdot b\cdot a\cdot \cos\gamma$

Sinová věta

$a:b:c:=\sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma$
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}= \frac{c}{\sin\gamma}$

Těžnice

$t_a=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (b^2+c^2)-a^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{b^2+c^2+2\cdot c\cdot b\cdot \cos\alpha}$
$t_b=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (a^2+c^2)-b^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{a^2+c^2+2\cdot c\cdot a\cdot \cos\beta}$
$t_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (b^2+a^2)-c^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{a^2+b^2+2\cdot b\cdot a\cdot \cos\gamma}$

Výšky

$v_a:v_b:v_c:=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$
$v_a=b\cdot \sin\gamma=c\cdot \sin\beta\\v_b=a\cdot \sin\gamma=c\cdot \sin\alpha\\v_c=a\cdot \sin\beta=b\cdot \sin\alpha$

Kružnice opsaná trojúhelníku

$r=\frac{a}{2\cdot \sin\alpha} = \frac{b}{2\cdot \sin\beta} =\frac{c}{2\cdot \sin\gamma}$
$r=\frac{b\cdot c}{2\cdot v_a}=\frac{a\cdot c}{2\cdot v_b}=\frac{a\cdot b}{2\cdot v_c}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}$

Kružnice vepsaná trojúhelníku

$s=\frac{a+b+c}{2}$
$\rho=\frac{S}{s}=\sqrt{\frac{(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}{s}}$
$\rho=(s-a)\cdot tan\frac{\alpha}{2}=(s-b)\cdot tan\frac{\beta}{2}=(s-c)\cdot tan\frac{\gamma}{2}$
$\rho=s\cdot tan\frac{\alpha}{2}\cdot tan\frac{\beta}{2}\cdot tan\frac{\gamma}{2}$
$\rho=4\cdot r\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2}\cdot \sin\frac{\gamma}{2}$

Využijte naší nové služby Matematické nástroje!

Můžete tam například najít nástroj, který vám pomůže s obecným trojúhelníkem.

Obsah Trojúhelníku

$s=\frac{a+b+c}{2}$
$S=\frac{a\cdot v_a}{2} = \frac{b\cdot v_b}{2}=\frac{c\cdot v_c}{2}$
$S=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}$
$S=\rho\cdot s$
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdo t\sin\gamma = \frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin\alpha= \frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin\beta$
$S=\frac{a^2\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma}{2\cdot \sin\alpha}=\frac{b^2\cdot \sin\gamma\cdot \sin\alpha}{2\cdot \sin\beta}=\frac{c^2\cdot \sin\alpha\cdot \sin\beta}{2\cdot \sin\gamma}$
$S=2\cdot r^2\cdot \sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma$
$S=s^2\cdot tan\frac{\alpha}{2}\cdot tan\frac{\beta}{2}\cdot tan\frac{\gamma}{2}$
$S=\rho^2\cdot \mathrm{cotg}\frac{\alpha}{2}\cdot \mathrm{cotg}\frac{\beta}{2}\cdot \mathrm{cotg}\frac{\gamma}{2}$