Stereometrie - Řešení konstrukčních úloh

Řez tělesa rovinou je průnik tělesa a roviny. Je to rovinný útvar, jehož hranice je průnik hranice tělesa a roviny řezu. Sestrojit řez tedy znamená sestrojit průsečnice jednotlivých stran. Při konstrukci řezů jsou důležité tři věty:

• 1) Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině.
• 2) Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách.
• 3) Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto bodem všechny tři průsečnice.

Z těchto vět vyplývají tři důsledky:

• 1) Spojnice dvou různých bodů v jedné rovině přímka, která je jednou stranou řezu.
• 2) Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné.
• 3) Průsečnice rovin dvou sousedních stěn s rovinou řezu a přímka vníž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě.

Nechápete? Nevadí, vše si vysvětlíme na příkladu

První příklad

Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou ABH.

Na začátku máme krychli ABCDEFGH.

Nyní již musíme narýsovat nějakou stranu řezu. Začneme stranou ABEF. V této straně krychle leží dva body řezu (A,B) a proto můžeme aplikovat důsledek 1. Stejný postup můžeme zopakovat s body A,H, protože leží také ve stejné rovině. Teď jsme se tedy dostali k následujícímu obrázku:

Nyní se situace stává trochu složitější. Důsledek 1 již použít nemůžeme. Ale můžeme použít důsledek 2. Protože roviny ABEF a CDGH jsou rovnoběžné, budou rovnoběžné i jejich průsečnice. Stačí tedy udělat rovnoběžku s AB bodem H. Teď již dokončit řez není problém. Opět aplikujeme důsledek 1 a spojíme body BG. A takto vypadá již dokončený řez!

Druhý příklad

Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou BEV. Bod V leží ve středu strany CG. Jako první stranu řezu sestrojíme úsečku BE (použili jsme důsledek 1)

Nyní přichází na řadu důsledek číslo 2. Uděláme rovnoběžku s BE v bodě V. Když rovnoběžku uděláme, vznikne nám na straně GH další bod řezu. Nazvěme ho například U.

Dokončit řez je teď už opravdu lehké. Stačí aplikovat důsledek 1.

Třetí příklad

Třetí a tedy poslední příklad bude nejtěžší. Možná jste si všimli, že v prvních dvou příkladech nebyl použit důsledek 3. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou XYZ. X leží ve středu strany AB, Y ve středu strany AE a Z leží ve středu strany FG.

V prvním kroku jsme aplikovali důsledek 1 spojením bodů XY. Další krok bude použití důsledku 3. Musíme najít průsečík přímky určené body XY s rovinou EFG. Průsečík můžeme nazvat například R. A nyní, pokud spojíme body RZ tak nám vznikne další bod řezu na úsečce EH. Nazvěme ho U.

Nyní je dokončení řezu pouze o použití důsledků 1 a 2. Myslím, že není nutné každý krok dokumentovat obrázkem a proto zde je již hotový řez.