navtype_mat_bez.gif

Stereometrie - Odchylka přímky a roviny

Vydáno dne 24.05.2008 18:42:06 v kategorii Stereometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 37144;

Naučíme se počítat odchylku přímky a roviny.


Moto motocykl

Výpočet odchylky přímky a roviny je dle mého ještě jednodušší, než výpočet odchylky dvou rovin. Když počítáme odchylku přímky a roviny, musíme přímkou proložit rovinu kolmou na zadanou rovinu. V této nalezené rovině pak najdeme trojúhelník s jehož pomocí příklad vyřešíme.

První příklad

Vypočtěte velikost odchylky roviny DBF a přímky PS v krychli ABCDEFGH. Bod P leží uprostřed hrany CG a bod S leží v podstavě na průsečíku úhlopříček. Délka hrany |AB| = 4 cm.

Krychle

Jediná kolmá rovina, která v tomto příkladě připadá v úvahu je rovina SCG. Stejně jako při počítání odchylek dvou rovin, doporučuji i teď udělat si obrázek kolmé roviny:

Detail

Měli bychom začít zjištěním délek stran trojúhelníku SCP.

|AC|=√(|AB|2+|BC|2)=5.56
|SC|=|AC|/2=2.78 cm

|CP|=2 cm

|SP|=√(|CP|2+|SC|2)
|SP|=3.42

Odchylka je rovna úhlu 90-CSP, který nyní bez problému zvládneme spočítat:

cos |úhelCSP|=|CP|/|SP|=2/3.42
|úhelCSP| = 35°47'
90-35°47'=54°13'

Druhý příklad

Vypočítejte odchylku přímky ER a roviny EAC v krychli ABCDEFGH. Bod R leží ve středu strany HG. Délka hrany |AB| = 4 cm.

Krychle

Najít kolmou rovinu je velmi lehké. Je to rovina EFG.

Detail

Tentokrát již nebudu do podrobna rozepisovat postup, jakým získat délku |ER| a |EG|. Je to jednoduché dosazení do Pythagorovi věty. Pokud budeme znát délky všech třech stran trojúhelníku REG, není problém získat pomocí kosinovy věty velikost úhlů REG.

|ER|=4.47 cm
|EG|=5.65 cm
|GR|=2 cm
cos |úhelREG|=(|GR|2*|ER|2*|EG|2)/(-2*|ER|*|EG|)
|úhelREG|=18°29'

Třetí příklad

Určete odchylku přímky EC a roviny DBG v krychli ABCDEFGH s delékou hrany |AB| = 4 cm.

Krychle

Kolmá rovina je pochopitelně rovina ACG. Pokud bychom narýsovali detail právě roviny ACG, vypadalo by to nějak takto:

Detail

Nebudu již rozepisovat řešení krok po kroku, pouze navrhnu cestu a počítání bude na vás. Nejlehčí řešení dle mého je spočítat si úhel CEG a úhel EGS. Výsledek bude roven 180-|úhelCEG|-|úhelEGS|. Úhel CEG má velikost 35° a úhel EGS má velikost 55°. Výsledek je proto 90°.

Procvičování

Jelikož je tato látka velmi podobná počítání odchylky dvou rovin můžeme se již teď vrhnout na pár cvičných příkladů.

[ram]

Určete odchylku vyznačené roviny a přímky v krychli ABCDEFGH a délce hrany a =4 cm:

Krychle
[id]otazka1[/id]Odchylka roviny a přímky je 18°26'
[tl]otazka1[/tl] [/ram] [ram]

Určete odchylku vyznačené roviny a přímky v krychli ABCDEFGH a délce hrany a =4 cm:

Krychle
[id]otazka2[/id]Odchylka roviny a přímky je 35°16'
[tl]otazka2[/tl] [/ram] [ram]

Určete odchylku vyznačené roviny a přímky v jehlanu ABCDV. Délka hrany |AB| = 6 cm a výška v = 7 cm:

Jehlan
[id]otazka3[/id]Odchylka roviny a přímky je 31°13'
[tl]otazka3[/tl] [/ram]


Zkuste odpovědět na následující otázku:

Určete intervaly monotonie funkce \mathrm{e}^x(x^2+3x+1)

Rostoucí na celém svém definičním oboru

Rostoucí na (-\infty,\ -4\rangle\ \cup\ \langle1,\ \infty). Klesající na \langle-4,\ -1\rangle

Rostoucí na \langle-\frac{3}{2},\ \infty). Klesající na (-\infty,\ -\frac{3}{2}\rangle





Jakub Vojáček



Komentáře:

Moto motocykl