Stereometrie - Odchylka dvou rovnin

Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Většinou je právě nejtěžší najít právě onu kolmou rovinu. Zbytek je již počítání se sinovou a kosinovou větou.

Jak jinak si to pořádně vysvětlit než příkladem.

První příklad

Je-li dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV se stranou a=5 cm a v=7 cm určete odchylku boční stěny a podstavy. Jedná se tedy o odchylku roviny ABC a BCS (můžete si vybrat jinou boční stěnu).

Jak jsem říkal, najít kolmou stěnu je vždy nejtěžší část úkolu a v tomto případě je tomu také tak.

Jedná se o rovinu SPV. Při počítání doporučuji nakreslit si tu jednu rovinu (v našem případ SPV). Je to přehlednější než to kreslit do samotného jehlanu.

|PV|=√(|PS|2+|SV|2)
|PV|=7.43
cos |SPV|=|SP|/|PV|=2.5/7.43
|SPV|=70.3°

Výsledná odchylka boční stěny a roviny podstavy je 70.3°.

Druhý příklad

Předchozí příklad byl celkem jednoduchý a tento bude ještě jednodušší

Určete odchylku roviny rovin ADP a OPQ v krychli ABCDEFGH. Bod P leží ve středu strany BF, bod O leží ve středu strany AE a bod Q leží ve středu strany CG. Délka strany |AB| je 4 cm.

V minulém příkladě jsme museli hledat kolmou rovinu. V tomto příkladě ji nemusíme hledat. Jedná se totiž o rovinu ABF. Do ní se nám krásně promítli dvě průsečnice AP a OP. Určením jejich odchylky určíme odchylku rovin.

My musíme spočítat úhel APO.

|AP|=√(|AB|2+|BP|2)
|AP|=4.47
sin |APO|=|AO|/|AP|=2/4.47
|APO|=26°34'

Výsledná odchylka je 26°34'.

Třetí příklad

Určete odchylku rovin EBC a APO v krychli ABCDEFGH. Bod P leží ve středu strany EF a bod O leží ve středu strany HG. Délka strany |AB| = 4 cm.

Najít kolmou rovinu opět není problém. V tomto případě je to rovina ABF. Těžší bude tentokrát výpočet.

Musíme spočítat velikost úhlu ASE (bod S leží na průsečíku AP a BE). My v tomto trojúhelníku známe pouze délku strany AE. Abychom získali výslednou odchylku, musíme spočítat velikosti úhlů AEB a EAP.

|EB|=√(|AE|2+|AB|2)
|EB|=5.65
cos |AEB|=4/5.65
|AEB|=45°

|AP|=√(|AE|2+|AP|2)
|AP|=4.47
cos |EAP|=4/4.47
|EAP|=26.5

Nyní, když známe dva úhly v trojúhelníku ESA, můžeme lehce dopočítat zbývající úhel.

|ESA|=180-EAP|-|AEB|
|ESA|=108°30'

Vyšlo nám 108°30', ale to ještě není výsledek, protože víme, že jako odchylku vždy bereme ten menší ze dvou úhlů, které průsečnice svírají. Správný výsledek tedy bude roven 180-108°30' a to je: 71°30'.

Čtvrtý příklad

Je dán jehlan ABCDV. Bod P leží ve středu strany AV a bod Q leží ve středu strany CV. Bod S leží na průsečíku úhlopříček. Vypočítejte odchylku rovin PDB a DBQ. Délka strany |AB|=6 cm a v=7 cm.

Kolmá rovina je v tomto případě AVC.

Nám stačí spočítat velikost úhlu ASP abychom se dopracovali k výsledku. Abychom tento úhel mohli spočítat, musíme nejprve určit délky úseček AP a AS.

|AC|=√(|AB|2+|BC|2)
|AC|=8.48

|AS|=|AC|/2=4.24
|AV|=√(|SV|2+|AS|2)

|AV|=8.2
|AP|=|AV|/2=4.1

A protože trojúhelník APS je rovnoramenný, můžeme spočítat úhel ASP.

a=4.1
p=4.24
s=4.1
cos |ASP|=(s2-p2-a2)/(-2*a*p)
|ASP|=58°51'

Výsledný úhel je tedy 180-2*58°51', což je 62°15'.

Procvičování

Na závěr jsem si pro vás připravil dva příklady k procvičení.

Určete odchylku vyznačených rovin: