Rovnice

Rovnice je matematické tvrzení, že dvě věci jsou si rovny. V matematickém zápisu používáme znaménko =.

Předchozí ukázka je příkladem rovnosti → obě strany se rovnají. Většina rovnic ale není takto jednoduchých; většinou musíme pracovat s jednou nebo více neznámými.

Toto je příklad identity - ať za proměnnou x dosadíme jakékoliv číslo, tato rovnice bude vždy platit.

Toto není příklad identity. Do tohoto vzorce nemůžeme dosadit jakékoliv číslo, aby rovnice platila → rovnice bude platit pouze pro čísla 0 a 1.

Písmena za začátku abecedy jako a, b, c... se většinou používají pro konstanty. Naopak, písmena z konce abecedy x, y, z se obvykle používají pro označení proměnných. Tento zvykl zavedl Descartes.

Opakem rovnice je nerovnice.

Úpravy

S rovnicemi se dá napáchat hodně věcí, ale jenom po aplikaci některých z nich zůstane rovnice stále platnou rovnicí. Následuje seznam ekvivalentních úprav:

1. Jakákoliv číslo může být přičteno k oběma stranám rovnice.
2. Jakékoliv číslo může být odečteno od obou stran rovnice.
3. Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (kromě nuly).
4. Obě strany můžeme vydělit stejným číslem.
5. Obecně vzato, na obě strany můžeme aplikovat jakoukoliv funkci, nicméně musíme na konci provést zkoušku.

Rozdělení

Existuje několik druhů rovnic; na tomto portálu si postupně pokusím všechno dopodrobna vysvětlit:

• Lineární rovnice
Kvadratická rovnice
• Kubické rovnice
• Rovnice s odmocninou
• Rovnice s absolutní hodnotou
• Goniometrické rovnice
• Exponenciální a logaritmické rovnice
• další typy časem přibudou

Vzhled rovnice

Existují určité kosmetické úpravy, jak upravit zápis řešení rovnice. Znaménko rovná se by se vždy mělo psát pod sebe (toto pravidlo na tomto portálu zpravidla nedodržujeme, protože na počítači je to něco jiného než na papíře).

1+1+1+1 = x
            4 = x

Dalším dobrým zvykem je psát při každé úpravě rovnice, způsob, jakým byla tato úprava provedena. Tuto informaci zpravidla píšeme na konec řádku za lomítko. Pokud tedy například odečítáme od celé rovnice číslo 5, přidáme na konec řádku /-5:

 x = 2x - 1 /-2x
-x = -1 /*-1
 x = 1

Toto se zejména hodí, chcete-li, aby někdo jiný pochopil, jak danou rovnici vyřešit.

Způsob řešení

Je více způsobů, jak se dá rovnice vyřešit (vyřešením rovnice myslím nalezení všech možných hodnot pro danou proměnnou).

• Algebraické řešení - Toto je asi nejčastější způsob. Rovnice budeme upravovat tak dlouho, dokud nenalezneme řešení.
• Grafické řešení - Toto je celkem náročná metoda. Nejdříve musíme narýsovat graf dané funkce a pak najít souřadnice průsečíků osy x a našeho grafu - to jsou řešení rovnice.
• Použití numerické metody - například Newtonova metoda tečen.

Algebraické řešení:

Grafické řešení: vyřešte rovnici: f(x) = abs(x + 5) + abs(x - 5) - 12:

Hledané řešení je -6; 6.

Zkouška

Po vyřešení rovnice je dobrým nápadem potvrdit výsledek provedením zkoušky, tj. dosadit získanou hodnotu do původní rovnice a ověřit, že se pravá strana rovná levé.

4*(x+5)-2x=0
4x+20-2x=0
2x = -20
x = -10
Zkouška:
Levá strana: 4*(x+5)-2x = 4*(-10+5)-2*(-10) = -20-(-20 = 0
Pravá strana: 0

Výsledek nyní máme potvrzený zkouškou!