Jak již bylo řečeno v minulém článku (přejít na článek Kvadratická rovnice), kvadratická rovnice je taková rovnice, kde se neznámá nachází v druhé mocnině. V kvadratické rovnici se také nachází čísla a, b, c. Číslo a se nazývá kvadratický člen a platí pro něj, že se nesmí rovnat nule, v opačném případě se nebude jednat o kvadratickou rovnici. Číslo b se nazývá lineární člen a číslo c absolutní člen, pro tato dvě čísla platí, že mohou nabývat jakýchkoliv hodnot. Obecný tvar kvadratické rovnice tedy je: 

`ax^2+bx+c=0`

A nyní přejděme k hlavní náplni tohoto článku a tj. již zmíněné odvození známého vzorce pro výpočet kvadratické rovnice:

Začneme tím, že vytkneme číslo a a poté jím vydělíme, toto si můžeme dovolit právě proto, že číslo a musí být nenulové, protože se jedná o kvadratický člen: 

`a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=0`
`x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0`

V dalším kroku našeho odvozování je doplnění na čtverec, tzn. Budeme chtít, aby nám vznikl vzoreček k2+2kl+l2=(k+l)2, toho docílíme tak, že druhý člen rovnice rozšíříme číslem 2 a přičteme a odečteme člen b2/(42) . Po těchto úpravách dostaneme vztah: 

`(x^2+\frac{2b}{2a} x+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0`

Po doplnění na čtverec, již můžeme závorku upravit do tvaru (a+b)2. Mimo závorku nám zbyly dva členy, které převedeme na společný jmenovatel. To provedeme tak, že druhý zlomek rozšíříme číslem 4a. Nyní tato čísla můžeme sečíst, dále pak vytkneme v čitateli -1 před závorku: 

`(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b^2-4ac}{4a^2})=0`

Další jednoduchou úpravou docílíme toho, že dostaneme z obou závorek vztah k2-l2=(k-l)(k+l). První závorka již vyhovuje, druhou upravíme tak, že ji celou umocníme na druhou a celý „vnitřek“ druhé závorky odmocníme: 

`(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|})^2=0`

Teď už jen stačí použít vztah, kvůli kterému jsme prováděli poslední úpravu: 

`(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|})=0`

Tato rovnice má řešení právě tehdy, když je alespoň jedna závorka rovna nule tj. když: 

`x_1+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}=0`
`x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}`

a 

`x_2+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}=0`
`x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}`

a toto jsou již známé vztahy pro výpočet kořenů kvadratické rovnice.