Mnohočlen/Polynom

Mnohočlen, neboli polynom je matematický výraz složený z různých proměnných používající operace sčítání, odčítání, násobení a umocňování celými kladnými čísly. Například výraz je mnohočlen, ale výraz mnohočlen není, protože v daném výrazu je použito dělení a negativní exponent.

Mnohočlen může být zapsán jako součet jednoho nebo více nenulových členů. Počet těchto členů není ničím omezený, může tedy být až nekonečný. Každý z těchto členů se skládá z několika částí - koeficient a dále jedna nebo více proměnných s kladným celočíselným exponentem. Přestože exponent může nabývat pouze kladných celočíselných hodnot, toto pravidlo neplatí pro koeficient. Ten může nabývat jakýchkoliv hodnot včetně zlomků, iracionálních čísel, záporných čísel nebo komplexních čísel. Prvek mnohočlenu, který neobsahuje žádnou proměnnou se nazývá konstanta.

Například je mnohočlen. Číslo -5 je koeficient. Proměnná x má exponent dvě a proměnná y má exponent jedna.

Výraz je také mnohočlen. Možná se divíte proč, řekli jsme si přece, že mnohočleny nesmí obsahovat dělení. Ale tento výraz se dá zapsat jako a v tomto tvaru to již každý pozná - jedná se doopravdy o mnohočlen.

Při psaní mnohočlenů se obvykle držíme pravidla, že členy s nejvyššími exponenty by měli být první: .

Vlastnosti

1. Součet polynomů je vždy polynom
2. Součin polynomů je vždy polynom
3. Derivace polynomu je vždy polynom

Polynomické funkce

Funkce je polynomická v případě, že splňuje následující podmínku:

, kde n je celé kladné číslo.

Z předchozí definice tedy plyne, že například funkce je polynomická funkce. A právě o tomto druhu funkcí bude převážně tento článek. Naučíme se analyzovat graf a najít kořeny polynomické funkce.

Přibližné načrtnutí grafu

Za předpokladu, že máte polynom v neroznásobené formě (např. ), tak není problém načrtnout přibližnou podobu grafu dané funkce. To se skládá z několika kroků:

1. Směr grafu
2. Průsečíky s osou x
3. Samozřejmě, že pokud umíte derivovat, můžete načrtnout daleko přesnější podobu grafu (najít funkční hodnoty v lokálních maximech a minimech)

Směr grafu

Pokud se podíváte na graf funkce (jedná se o parabolu), uvidíte, že obě části paraboly směřují nahoru (↑↑). Toto platí pro každou funkci , tedy pro každou polynomickou funkci, kde je nejvyšší exponent sudý. Pokud pracujeme s funkcí , směřují obě půlky grafu dolů (↓↓). Pro funkce s lichým exponentem platí jiné pravidlo. Pokud se jedná o funkci , tak graf směřuje ↓↑ a pokud se jedná o funkci , tak je směr opačný, tedy ↑↓. Speciální případ by samozřejmě byl mnohočlen s nejvyšším exponentem rovným jedné. Graf takovéhoto polynomu by byl přímka.

Toto pravidlo platí i pro polynomické funkce s více členy. Například funkce by měla směr ↓↑.

Pokud máte funkci zadanou ve tvaru , je situace trochu složitější. Vy totiž musíte nejprve najít jaký exponent má neznámá x. Naštěstí se nejedná o nic těžkého. Stačí, když sečtete exponenty jednotlivých členů. První člen je x, ten má exponent 1. Druhý exponent je (x+4), ten má také exponent 1. Poslední člen je , ten má exponent 4. Sečtením těchto tří čísel získáme finální exponent, tedy 1+1+4=6. Směr grafu tedy bude ↑↑.

Průsečíky s osou x

Pro hledání průsečíků je nejlepší, pokud máte funkci v neroznásobené formě, např. . V takovémto případě získáte průsečíky tak, že si řeknete, že se každý člen rovná nule a pro tento konkrétní příklad musíte vypočítat rovnice (x+1)=0 a (x-1)^2=0. Průsečíky s osou x by byly x=(-1, 1).

Pokud pracujete s funkcí v její roznásobené podobě, čelíte relativně velkému problému. Vzorce, které hledají kořeny existují do stupně 4 a bylo dokázáno, že není možné získat nějaký univerzální vzorec pro řešení rovnic stupně 5 a vyšších. Hledáním kořenů mnohočlenů se budeme zabývat v další části článku a prozatím tedy budeme pracovat s funkcemi v jejich neroznásobených podobách.

Hledáte-li, jak vypadá přibližně graf polynomické funkce, musíte nejprve provést krok číslo jedna, tj. nalézt směr funkce v jejích krajních intervalech. Poté musíte najít průsečíky funkce s osou x a vyznačit je na číselné ose. Nyní stačí do číselné osy přibližně načrtnout graf, což je většinou velmi lehká záležitost. Začnete u jednoho krajního bodu (je jedno na které straně) a postupně necháte funkci projít všemi vyznačenými body na ose x (samozřejmě si musíte dát pozor, abyste dodrželi směr, který jste našli v kroku číslo jedna). Budete-li tedy chtít načrtnout graf funkce , najdete nejprve směr. Ten je ↓↑. Další krok je nalezení průsečíků s osou x a načrtnout osu x a vyznačit na ní dané průsečíky.

Graf začneme kreslit zprava a budeme postupovat směrem dolů. Protneme osu x v bodě x=1, změníme směr grafu nahoru, protneme osu xv bodě x=0, opět změníme směr grafu a protneme osu x v bodě x=-1. Tím je náš náčrtek hotový.

Poněkud složitější situace nastane, pokud je některý ze členů ve vyšším stupni, než jedna, například funkce . Druhý člen má stupeň dvě. Proto při kreslení grafu nestačí, když protneme osu x v bodě x=-1, my musíme provést dotyk tak, jako bychom kreslili graf funkce , kde n je stupeň daného členu. Co to znamená v praxi? Pokud je člen ve stupni dva, dotkne se přímka osy x ve tvaru funkce x2 (což je parabola).

Pokud by se jedna o funkci , tak graf protne osu x v bodě -1 tak, jak by to udělal graf funkce x3.

Vše si to zopakujeme na jednom trochu složitějším příkladu. Načrtněte graf funkce .

Když sečteme exponenty jednotlivých členů, dostaneme číslo 7 a protože je před celou funkcí negativní číslo, znamená to, že nejvyšší člen je v podstatě . Tato funkce tedy bude mít směr ↑↓. Kořeny najdeme jednoduše; jedná se o čísla . Začneme tím, že načrtneme souřadný systém a do něj zaneseme dané kořeny.

Nyní pouze povedeme nalezenými body funkci. Pozor, musíme si dát pozor na to, jakým způsobem funkce protne/neprotne osu x.

Hledání kořenů

Hledání kořenů, tedy míst, kde graf dané polynomické funkce protne osu x se může velmi často stát pracnou a dlouhou záležitostí. Existují vzorce pro mnohočleny s maximálním exponentem jedna - Lineární rovnice a také existuje vzorec pro mnohočleny s maximálním exponentem dva - Kvadratická rovnice. Pokud se jedná o vyšší stupeň budeme buď muset použít grafický kalkulátor anebo některou z metod, o kterých bude řeč v dalším odstavci.

Hledání racionálních kořenů

Pomocí následujícího postupu je možné najít seznam možných řešení z množiny racionálních čísel. Všechna čísla z toho seznamu ale nejsou řešení a proto se musí dané číslo otestovat.

Mějme mnohočlen . Dále definujme proměnné p, q, kde p je prvočíselný rozklad (přejít na článek Prvočíselný rozklad)členu a q je prvočíselný rozklad členu . Možná řešení potom jsou .

Najděte možná řešení rovnice . Číslo 2 se dá rozložit na 1, 2 a číslo 3 se dá rozložit na 1,3. Možná řešení tedy jsou , neboli . Nyní musíme otestovat, který z těchto kořenů vyhovuje rovnici. Na to se skvěle hodí Hornerovo schéma (přejít na článek Dělení mnohočlenů). Z těchto čísel vyhovuje zadání kořen , viz.

Nyní, když jsme nalezli jeden kořen, můžeme použít výsledek, který jsme získali Hornerovým schématem k nalezení dalších kořenů. Podařilo se nám totiž snížit stupeň polynomu z 3 na 2 a takovéto rovnice umíme řešit pomocí diskriminantu:

Diskriminant je záporný a rovnice tudíž nemám řešení v množině reálných čísel. Ale my bychom mohli najít řešení v množině komplexních čísel:

Nalezli jsme tedy tři řešení: .

Další příklad: Rozložte mnohočlen .

Abychom mohli tento mnohočlen rozložit, musíme nejprve najít kořeny, a to uděláme stejným postupem jako v předchozím příkladě. Nejprve najdeme možné racionální kořeny:

možné kořeny = 

Nebudu zde zkoušet každý z kořenů a rovnou vám prozradím, že 2 je jedním z kořenů. Použijeme tedy Hornerovo schéma:

Získali jsme mnohočlen 

Opět najdeme všechny možné kořeny:

Možné kořeny: 

Opět vám ulehčím práci a rovnou vám prozradím, že správným kořenem je x=-1.

Získali jsme mnohočlen 

Možná řešení jsou . Jako vždy vám prozradím, že po testu těchto čísel byste došli k závěru, že -1 je řešením dané rovnice.

Získali jsme mnohočlen 

Úspěšně se nám podařilo zredukovat stupeň mnohočlenu na dva. A s takovouto rovnici si každý z vás jistě hravě poradí:

Konečně se nám podařilo dovést tento příklad do zdárného konce a můžeme tedy rozložit na mnohočlen .

Descartovo pravidlo znamének

Pomocí tohoto pravidla je možné určit, kolik kladných a kolik záporných kořenů má polynomická rovnice. Za předpokladu, že máme polynomickou funkci f(x), tak počet kladných kořenů je roven počtu variací znaménka mezi jednotlivými členy polynomu. Počet negativních kořenů najdeme stejným způsobem, ale musíme funkci f upravit na f(-x).

Najděte počty kladných a záporných řešení mnohočlenu . Začneme tím, že najdeme počet kladných řešení a to je rovno počtu variací znaménka a to se mění dvakrát (mezi prvním a druhým členem a mezi druhým a třetím členem). Počet kladných řešení je tedy 2.

Počet záporných řešení nalezneme tak, že najdeme funkci f(-x) a poté provedeme stejný postup, jako jsme provedli při hledání počtu kladných řešení.

Znaménko se změnilo pouze jednou a proto je pouze jedno řešení z množiny záporných čísel.

Pozor! Je zde jedna věc na kterou si musíme dát pozor. Tato metoda nalézá i řešení, které nejsou z množiny reálných čísel nýbrž i čísla z množiny komplexních čísel. Komplexní kořeny jak známo vždy chodí v párech a proto jakmile vypočítáme, že počet kladných řešení by měl být 2 musíme okamžitě napsat, že by také nemusely být žádná kladná řešení (oba kořeny by mohly totiž být komplexní). Provedeme-li tedy úpravy předchozího příkladu získáme výsledek:

Počet kladných řešení: 2 nebo 0

Počet záporných řešení: 1

Další příklad: Nově nabité znalosti si procvičíme ještě na jednom příkladu: Nalezněte počty kladných/záporných řešení mnohočlenu .

Počet kladných řešení: 4 nebo 2 nebo 0

Počet záporných řešení: 0