navtype_mat_bez.gif

Lineární lomená funkce

Vydáno dne 09.02.2011 17:46:41 v kategorii Funkce; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 47314;

Úvod do problematiky lineární lomené funkce - definiční obor, náčrtek grafu a mnoho dalšího.


Moto motocykl

Lineární lomená funkce je funkce ve tvaru f(x)=\frac{a\mathrm{x}+b}{c\mathrm{x}+d},a, b,c, c \in \mathbb{R}, c \neq 0

Graf funkce f(x)=\frac{1}{x}

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola a její předpis už jste viděli. Je zde ale jedna maličkost, na kterou si musíte dát pozor. Rovná-li se totiž ad-bc=0, pak je grafem funkce přímka s předpisem f(x)=\frac{a}{c}.

Vlastnosti funkce

  • Definičním oborem jsou všechna reálná čísla až na jedno. Ve jmenovateli totiž nesmí být nula a proto víme, že c\mathrm{x} +d \neq 0. Upravením této nerovnice dojdeme k výsledku, že definičním oborem funkce je: D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}
  • Oborem hodnot je H_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{a}{c}\right\}
  • Funkce není omezená a nemá maximum ani minimum.
  • Pro ad-bc>0 se jedná o funkci rostoucí na celém svém definičním oboru.
  • Pro 0>ad-bc se jedná o funkci klesající na celém svém definičním oboru.
  • Funkce má dvě asymptoty: x=-\frac{d}{c},y=\frac{a}{c}

Náčrtek grafu

Když dostanete za úkol načrtnout graf nějaké funkce, můžete spočítat její průběh, ale to je dlouhá a často obtížná cesta. Pokud ale poznáte, že se jedná o funkce lineárně lomenou, existuje pomůcka, jak její graf načrtnout. Pokud totiž dostaneme funkci do tvaru f(x)=\frac{a}{x+m}+n;a,m,m\in\mathbb{R}, tak její graf bez problémů načrtneme.

Převod lineární lomené funkce do předchozího tvaru je jednoduchý - stačí funkci vydělit jako dva mnohočleny:

(&ax+b):(cx+d)=\frac{a}{c}+\frac{\frac{cb-ad}{c}}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{cb-ad}{c^2x+cd}\\&\underline{-\left(ax+\frac{ad}{c}\right)}\\&\ \ \ \ \ b-\frac{ad}{c}

Ovšem pamatovat si takovýto vzorec je asi zbytečné, lehčí je vždy mnohočleny vydělit.

Převeďte funkci f(x)=\frac{x+2}{x+4} na druhý tvar:

(&x+2):(x+4)=1-\frac{2}{x+4}\\&\underline{-(x+4)}\\&\ \ -2
Platí tedy:
1-\frac{2}{x+4} = \frac{x+2}{x+4}

Převádět tedy umíte. Nyní k samotnému náčrtu grafu podle předpisu f(x)=\frac{a}{x+m}+n;a,m,m\in\mathbb{R}:

Je-li a>0, pak funkce je rostoucí. Je-li 0>a, funkce je klesající. Parametry m, n, určují posun po ose x, y. Posunuje o -m ve směru kladné poloosy x a o n ve směru kladné poloosy y.

Pro funkci f(x)=\frac{1}{x+2}+1 to vypadá následovně:

Vyzkoušíme si to ještě jednou. Určete definiční obor a obor hodnot funkce f(x)=\frac{x-2}{x+2}

Definiční obor a obor hodnot získáme pouhým dosazením do vzorečku.

  • H_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}=\mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}
  • H_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{a}{c}\right\}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}

Abychom mohli načrtnout graf, musíme funkci upravit:

(&x-2):(x+2)=1-\frac{4}{x+2}\\&\underline{-(x+2)}\\&\ \ -4

Z tohoto tvaru již graf načrtnete jistě snadno:



Zkuste odpovědět na následující otázku:

Určete asymptotu se směrnicí funkce f(x)=\frac{x^2+1}{x+3}

y=x-1

y=x+1

y=x-3

Asymptota se směrnicí neexistuje





Jakub Vojáček



Komentáře:

Moto motocykl