navtype_mat_bez.gif

Kvadratická rovnice

Vydáno dne 24.05.2008 18:44:17 v kategorii Rovnice; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 53285;

Existují lineární, kvadratické a další typy rovnic. V tomto článku se naučíme řešit právě kvadratické rovnice pomocí diskriminantu.


Moto motocykl
[ K tomuto článku jsou přiřazeny některé testy ]

Přejít na test Kvadratické rovnice


Kvadratické rovnice jsou takové rovnice, kde je neznámá (budeme jí říkat x) ve druhé mocnině, tedy x2. Každá taková rovnice se dá napsat v základním tvaru jako:

ax2+bx+c=0

V této rovnice jsou proměnné a, b, c čísla z oboru reálných čísel. Pochopitelně se jedná o kvadratickou rovnici pouze tehdy, když a ≠ 0. Ale pozor, koeficienty b, c mohou nabývat nulových hodnoto.

2x+5=0 → Toto není kvadratická rovnice
3x2+5x-4=0 → Toto je kvadratická rovnice
-100x2=0 → Toto je kvadratická rovnice

Takže už jsme si vymezili pojem kvadratická rovnice. Nyní bychom se měli naučit takovou rovnici řešit.

Diskriminant

Kvadratická rovnice se řeší pomocí diskriminantu. Ten má následující vzorec:

D=b^2-4*a*c

Pokud vypočítáme diskriminant, ještě není vyhráno. Diskriminant musíme ještě totiž dosadit do následujícího vzorce.

x_1,x_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2*a}

Jak vidíte, ve vzorci se používá odmocnina z diskriminantu. V oboru reálných čísel není možné spočítat odmocninu z čísel menších než nula. Proto nalezneme řešení pouze tehdy, když je diskriminant D ≥ 0.

  1. D ≤ 0 → Rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.
  2. D = 0 → x=\frac{-b}{2*a}
  3. D ≥ 0 → x_1,x_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2*a}

Využijte naší nové služby Matematické nástroje!

Můžete tam například najít nástroj, který vám pomůže s kvadratickou rovnicí.

Příklady

Zde naleznete několik příkladů k procvičení kvadratických rovnic:

2x2-4x+2=0
[a, b, c] = [2, -4, 2]
D=b2-4ac
D=16-4*2*2=16-16
D=0
Diskriminant je roven nule.
x=\frac{-b}{2*a}
x=\frac{4}{2*2}
x=1

Tentokrát nám vyšel diskriminant roven nule a proto vyšlo pouze jedno řešení. Vyzkoušíme ještě jeden příklad.

4x2+4x=0
[a, b, c] = [4;4;0]
D=b2-4ac
D=16-4*4*0
D=16
x_1,x_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2*a}
x_1,x_2=\frac{-4\pm4}{2*4}
x_1=\frac{-4+4}{2*4}
x1 = 0
x_2=\frac{-4-4}{2*4}
x2 = -1

Geometrický význam

Kvadratická funkce má také geometrický význam. Grafem kvadratické rovnice je parabola. Základní parabola má vrchol v počátku a vzorec f(x): x2 a vypadá takto:

Parabola

Podle grafu kvadratické funkce můžeme určit kořeny kvadratické rovnice podle toho, kde parabola protíná osu x. Podle předchozího obrázku proto lehce určíme, že pro kvadratickou rovnici x2 = 0 je x=0.

Parabola

Na předchozím obrázku vidíte graf funkce z předchozího příkladu (4x2+4x=0). Je krásně vidět, že námi vypočítané kořeny jsou průsečíky paraboly na ose x. Umístění paraboly můžeme vlastně rozdělit do tří kategorií:

  1. Parabola se dotýká osy x - Daná kvadratická rovnice má jedno řešení. Diskriminant je roven 0.
  2. Parabola nemá žádný průsečík s osou x - Daná kvadratická rovnice nemá řešení. Diskriminant je menší nule.
  3. Parabola má dva průsečíky s osou x - Kvadratická rovnice má dvě řešení. Diskriminant je větší nule.

O tom, jak tento vzorec byl odvozen si můžete přečíst v článku Odvození vztahu pro výpočet kvadratické rovnice.



Zkuste odpovědět na následující otázku:

Nalezněte maximum funkce f(x)=\frac{x}{x^2+1} na intervalu (0, 4).

[1, 1]

[1, -3]

\left[1, \frac{3}{2}\right]

\left[1, \frac{1}{2}\right]





Jakub Vojáček



Komentáře:

Moto motocykl