navtype_mat_bez.gif

Geometrická posloupnost a geometrická řada

Vydáno dne 24.07.2010 11:25:07 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 19923;

Vysvětlíme si pojem geometrická posloupnost a geometrická řada a naučíme se s nimi pracovat.


Geometrická posloupnost je posloupnost čísel, jejíž poměr mezi dvěma po sobě jdoucích členech je konstantní.

\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\ \cdots

Předchozí posloupnost je geometrická, protože každý následující člen získáme tak, že vynásobíme předchozí člen \frac{1}{2}. V podstatě lze tedy říci, že geometrická posloupnost by se dala zapsat ve tvaru:

a,\ aq,\ aq^2,\ aq^3,\ aq^4

Vyjádření členů geometrické posloupnosti

  • N-tý člen: a_n\ =\ a_1 \ \cdot\ q^{n\ -\ 1}, popř. a_s \ =\ a_rq^{s\ -\ r}
  • Rekurentní zadání: a_n\ =\ a_{n\ -\ 1}\ \cdot\ q

Chování posloupnosti na základě kvocientu

Hodnota kvocientu (q) určuje, jakým způsobem se bude posloupnost chovat:

  • Kvocient je kladný → všechny členy posloupnosti budou mít stejné znamínko jako první člen.
  • Kvocient je záporný → znamínko dalších členů se bude střídat ze záporného na kladné a naopak.
  • Kvocient větší než jedna → členy posloupnosti se postupně budou blížit k nekonečnu.
  • Kvocient rovný jedné → všechny členy posloupnosti budou stejné
  • Kvocient mezi -1 a 1 ale ne rovný nule → členy posloupnosti se budou postupně blížit k nule.
  • Kvocient rovný mínus jedné → Všechny členy budou stejné, akorát jejich znamínka budou alternovat.
  • Kvocient menší než mínus jedna → Znamínka opět alternují; Hodnoty se blíží k mínus nekonečnu a plus nekonečnu.

1) Určete první pět členů geometrické posloupnosti, když a_1\ =\ 2 a q\ =\ 4

Předpis pro n-tý člen geometrické posloupnosti jsme si už řekli → a_n\ =\ a_1 \ \cdot\ q^{n\ -\ 1} a proto prvních pět členů vypočítáme pouhým dosazením do tohoto vzorce:

a_2\ =\ a_1 \ \cdot\  q^{2\ -\ 1}\ =\ 2\ \cdot 4^{1}\ =\ 8
a_3\ =\ a_1 \ \cdot\  q^{3\ -\ 1}\ =\ 2\ \cdot 4^{2}\ =\ 32
a_4\ =\ a_1 \ \cdot\  q^{4\ -\ 1}\ =\ 2\ \cdot 4^{3}\ =\ 128
a_5\ =\ a_1 \ \cdot\  q^{5\ -\ 1}\ =\ 2\ \cdot 4^{4}\ =\ 512

2) V geometrické posloupnosti platí: a_1+a_3\ =\ 5, a_2+a_4\ =\ 10. Určete a_1 a q



Máme soustavu dvou rovnic o čtyřech neznámých. Chceme-li tuto rovnici vyřešit, musíme počet neznámých snížit o dvě. To uděláme tak, že členy a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4 vyjádříme pomocí a_1 a q:

\begin{array}{rcl}a_2\ &=&\ a_1 \ \cdot\  q^{1}\\a_3\ &=&\ a_1 \ \cdot\  q^{2}\\a_4\ &=&\ a_1 \ \cdot\  q^{3}\end{array}

Nyní tedy můžeme přepsat soustavu rovnic do tvaru:

\begin{array}{rcl}a_1\ +\ a_1 \ \cdot\  q^{2}\ &=&\ 5\\a_1 \ \cdot\  q^{1}\ +\ a_1 \ \cdot\  q^{3}\ &=&\ 10\end{array}

Tuto soustavu nejlépe vyřešíme tak, že z první rovnice vyjádříme a_1:

a_1\ =\ \frac{5}{1\ +\ q^2}

Tuto hodnotu nyní dosadíme do druhé rovnice a spočítáme q:

\begin{array}{rcl}a_1 \ \cdot\  q^{1}\ +\ a_1 \ \cdot\  q^{3}\ &=&\ 10\\\frac{5q}{1\ +\ q^2}\ +\ \frac{5q^3}{1\ +\ q^2}\ &=&\ 10\\\frac{5q(1\ +\ q^2)}{1\ +\ q^2}\ &=&\ 10\\q\ &=&\ 2\end{array}

Dopočítáme a_1:

a_1\ =\ \frac{5}{1\ +\ q^2}\ =\ 1

3) V geometrické posloupnosti je a_1\ =\ \frac{1}{16} a q\ =\ 2. Pro který člen platí a_n\ +\ a_{n+3}\ =\ 2304?



Členy a_n a a_{n+3} vyjádříme pomocí a_1 a q. 

a_1q^{n-1}\ +\ a_1q^{n+2}\ =\ 2304

Dosadíme hodnoty ze zadání a vyřešíme rovnici:

\begin{array}{rcl}a_1q^{n-1}\ +\ a_1q^{n+2}\ &=&\ 2304\\\frac{1}{16}2^{n-1}\ +\ \frac{1}{16}2^{n+2}\ &=&\ 2304\\\frac{1}{16}2^n2^{-1}\ +\ \frac{1}{16}2^n2^2\ &=&\ 2304\\x\ &=&\ 2^n\\\frac{1}{32}x+\frac{1}{4}x\ &=&\ 2304\\x\ &=&\ 8192\\n\ &=&\ \log_2{8192}\ &=&\ 13\end{array}

4) Dokažte, že čísla \sqrt{5}\ -\ \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{5}\ +\ \sqrt{2} jsou prvními třemi členy geometrické posloupnosti.



Nejprve musíme spočítat kvocient q:

 
q\ =\ \frac{a2}{a1}\ =\ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}\ -\ \sqrt{2}}

Nyní stačí dokázat, že platí a_2q\ =\ a_3:

\begin{array}{rcl}a_2q\ &=&\ a_3\\\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}\ -\ \sqrt{2}}\ &=&\ \sqrt{5}\ +\ \sqrt{2}\\3\ &=&\ (\sqrt{5}\ +\ \sqrt{2})(\sqrt{5}\ -\ \sqrt{2})\\3\ &=&\ 3\end{array}

Nekonečná geometrická posloupnost

O několik odstavců výše jsme si vysvětlili, jak se chová geometrická posloupnost pro různého hodnoty kvocientu. Nás teď bude zajímat taková posloupnost, kde |q|\ \lt\ 1 a budeme zkoumat, jak se budou členy posloupnosti chovat, budeme-li se blížit k nekonečnu. Budeme tedy počítat limitu posloupnosti (více o práci a počítání s limitami v článku Limity funkcí).

a_n\ =\ \frac{n}{n\ +\ 1}
{\lim}\limits_{n \to \pm\infty}\ \frac{n}{n\ +\ 1}\ =\ {\lim}\limits_{n \to \pm\infty}\ \frac{n}{n}\ +\ {\lim}\limits_{n \to \pm\infty}\ \frac{1}{n}\ =\ 1\ +\ 0\ =\ 1

O tom, že jsme limitu určili správně se můžete přesvědčit na následujícím obrázku, kde je graf funkce f(x):\ y\ =\ \frac{x}{x\ +\ 1}. Jak vidíte, v plus i mínus nekonečnu se graf opravdu blíží k jedničce.

Geometrická řada

Součet členů geometrické posloupnosti se obvykle označuje jako geometrická řada.

Součet prvních n-členů geometrické řady lze vypočítat podle vzorce:

S_n\ =\ a_1\frac{1\ -\ q^n}{1\ -\ q}

5) Určete součet prvních pěti členů geometrické řady, kde a_1\ =\ 1 a q=2.

S_n\ =\ a_1\frac{1\ -\ q^n}{1\ -\ q}
S_5\ =\ 1\frac{1-2^5}{1-2}\ =\ \fbox{31}

6) V geometrické posloupnosti je a_1\ =\ 7,\ q\ =\ 5. Určete n tak, aby platilo S_n\ =\ 217



Do vzorce pro výpočet součtu prvků geometrické posloupnosti dosadíme hodnoty ze zadání:

\begin{array}{rcl}S_n\ &=&\ a_1\frac{1\ -\ q^n}{1\ -\ q}\\217\ &=&\ \frac{7(1-5^n)}{1-5}\\217\ &=&\ \frac{7(1-5^n)}{-4}\\-868\ &=&\ 7(1-5^n)\\-124\ &=&\ 1-5^n\\125\ &=&\ 5^n\\n\ &=&\ \log_5125\ =\                                                                                     3\end{array}

7) Součet čtyř po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je S_n\ =\ 80. Určete je, víte-li, že poslední člen je devětkrát větší než druhý člen.



Protože víme poměr mezi druhým a čtvrtým členem, tak lehce určíme kvocient:

\begin{array}9a_n\ &=&\ a_{n+3}\\9a_1q\ &=&\ a_1q^3\\9\ &=&\ q^2\\q\ &=&\ \pm3\end{array}

Kvocient tedy nabývá hodnoty buď q\ =\ 3 nebo q\ =\ -3. Pro obě možnosti zbývá dopočítat první člen posloupnosti (určení dalších již není problém). Dosadíme získané hodnoty do vzorce pro určení součtu n-členů geometrické posloupnosti:

Pro q\ =\ 3
\begin{array}{rcl}S_n\ &=&\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\80\ &=&\ \frac{a_1(1-81)}{-2}\\80\ &=&\ 40a_1\\a_1\ &=&\ 2\end{array}

Pro q\ =\ -3
\begin{array}{rcl}S_n\ &=&\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\80\ &=&\ \frac{a_1(1-81)}{4}\\80\ &=&\ -20a_1\\a_1\ &=&\ -4\end{array}

Získali jsme dva výsledky.

  • Pro q\ =\ 3 jsou to členy 2, 6, 18, 54
  • Pro q\ =\ -3 jsou to členy -4, 12, -36, 108

Nekonečná geometrická řada

Už jsme se setkali s nekonečnou geometrickou posloupností, kde jsme určovali limity jednotlivých posloupností. Ale proč bychom se měli zabývat nekonečnou geometrickou řadou, protože přece když sečtu nekonečně mnoho členů dostanu vždy nekonečnu. Ale pozor, není tomu tak, protože některé nekonečné geometrické řady konvergují ke konečnému číslu.

Geometrická řada je konvergentní pouze tehdy, je-li absolutní hodnota kvocientu menší jedné. Jinými slovy musí platit |q|\ \lt\ 1. Odvodíme si vzoreček pro určení sumy takové nekonečné geometrické řady:

S_n\ =\ a_1\frac{1\ -\ q^n}{1\ -\ q}

My se snažíme určit S_n, když n\ \to\ \infty.

S\ =\ {\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{a_1-a_1q^n}{1-q}

Rozložíme výraz na rozdíl dvou limit:

S\ =\ {\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{a_1-a_1q^n}{1-q}\ =\ {\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{a_1}{1-q}\ -\ {\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{a_1q^n}{1-q}

Jestliže víme, že |q|\ \lt\ 1, tak můžeme říct, že {\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{a_1q^n}{1-q}\ =\ 0. Tím pádem získáváme vzoreček pro nekonečnou geometrickou řadu:

\fbox{S_n\ =\ \frac{a_1}{1-q}}

8) Je dána geometrická řada 8,\ 2,\ \frac{1}{2},\ \cdots. Určete její součet.



Nejprve spočítáme kvocient.

q\ =\ \frac{a_2}{a_1}\ =\ \frac{2}{8}\ =\ \frac{1}{4}

A nyní pouze dosadíme do vzorce. 

S_n\ =\ \frac{a_1}{1-q}\ =\ \frac{8}{1-\frac{1}{4}}\ =\ \fbox{\frac{32}{3}}

9) Je zadán rovnostranný trojúhelník ABC o délce strany a = 2. Do tohoto trojúhelníku je vepsán další trojúhelník tak, že jeho vrcholy jsou ve středu stran trojúhelníka ABC a podobně je do tohoto trojúhelníku vepsán další trojúhelník atd. Určete součet obvodů a obsahů těchto trojúhelníků.



Nejprve určíme obvody prvních několika trojúhelníků. První trojúhelník má obvod 6. Druhý trojúhelník má stranu dvakrát menší → jeho obvod je 3. A podobně bychom mohli určit obvody všech trojúhelníků.

6\ +\ 3\ +\ \frac{3}{2}\ +\ \cdots\ +\ \frac{6}{2^{n\ -\ 1}}

Určíme kvocient a spočítáme součet nekonečné geometrické řady.

q\ =\ \frac{a_2}{a_1}\ =\ \frac{1}{2}\\S\ =\ \frac{a_1}{1-q}\ =\ \frac{6}{\frac{1}{2}}\ =\ \fbox{12}

Podobným způsobem určíme součet obsahů trojúhelníků → nejprve najdeme prvních několik obsahů, pak určíme kvocient a nakonec dosadíme do vzorce. Obsah rovnostranného trojúhelníka se určí pomocí vzorce S\ =\ a^2\frac{\sqrt{3}}{4}

\sqrt{3}\ +\ \frac{\sqrt{3}}{4}\ +\ \frac{\sqrt{3}}{8}\ +\ \cdots
q\ =\ \frac{a_2}{a_1}\ =\ \frac{1}{4}\\S\ =\ \frac{a_1}{1-q}\ =\ \frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{4}}\ =\ \fbox{\frac{4\sqrt{3}}{3}}

10) Vyjádřete číslo 0.7777\ldots jako zlomek.



Toto číslo můžeme přepsat do tvaru:

0.7777\ldots \;=\; \frac{7}{10} \,+\, \frac{7}{100} \,+\, \frac{7}{1000} \,+\, \frac{7}{10000} \,+\, \cdots

A toto již je součet nekonečné geometrické řady. 

q\ =\ \frac{a_2}{a_1}\ =\ \frac{\frac{7}{100}}{\frac{7}{10}}\ =\ \frac{1}{10}
S\ =\ \frac{a_1}{1-q}\ =\ \frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}\ =\ \fbox{\frac{7}{9}}


Zkuste odpovědět na následující otázku:

Vypočtěte \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cdot\cos x\mathrm{d}x

\frac{\pi}{2}-1

\frac{1}{4}-\pi

-0.5π

2π





Jakub Vojáček



Komentáře: