Asymptota funkce

Asymptota je přímka, ke které se graf funkce neomezeně přibližuje, když se vzdaluje do nekonečna. Vzdálenost mezi grafem a asymptotou se přitom zmenšuje k nule. Asymptoty jsou tří druhů:

`\begin{gathered}\text{svislá (bez směrnice):}\quad x=c\\[10pt]\text{vodorovná:}\quad y=b\\[10pt]\text{šikmá:}\quad y=ax+b\end{gathered}`

Svislá asymptota je tam, kde funkce „utíká“ do plus nebo minus nekonečna, typicky v bodě, kde je ve jmenovateli nula. Vodorovná a šikmá asymptota ukazují, jak se funkce chová pro velmi velká a velmi malá x. Oběma se říká asymptoty se směrnicí, vodorovná je zvláštní případ se směrnicí `a=0`.

Na obrázku je graf funkce `y=\dfrac{x^2+1}{x}`. Má dvě asymptoty: svislou `x=0` (osa y) a šikmou `y=x`. Čím dál od počátku, tím těsněji se k nim graf přimyká.

Slovo pochází z řečtiny, asymptótos znamená „nesplývající“. Píše se asymptota, ne asimptota ani asymtota.

Co je asymptota přesně

Přímka je asymptotou grafu funkce, jestliže se vzdálenost bodu grafu od této přímky blíží k nule, když bod po grafu odchází do nekonečna. To může nastat dvěma způsoby:

• x roste nade všechny meze (`x\to+\infty`) nebo klesá pod všechny meze (`x\to-\infty`). Graf se pak přimyká k přímce `y=ax+b`, tedy k asymptotě se směrnicí.
• x se blíží ke konečnému číslu c a hodnoty funkce přitom rostou nade všechny meze nebo klesají pod všechny meze. Graf se pak přimyká ke svislé přímce `x=c`, tedy k asymptotě bez směrnice.

Asymptota popisuje chování funkce „v nekonečnu“, ne všude. Není to „přímka, které se graf nikdy nedotkne“. Funkce `y=\dfrac{2x^2+x}{x^2+1}` má vodorovnou asymptotu `y=2` a v bodě [2; 2] ji protne, protože `f(2)=\dfrac{8+2}{5}=2`. Pro velká x se k ní přesto blíží.

Druhy asymptot a jak je najít

Svislých asymptot může mít funkce libovolně mnoho, `y=\operatorname{tg}x` jich má nekonečně mnoho, `x=\frac{\pi}{2}+k\pi`. Asymptotu se směrnicí má funkce nejvýš jednu pro `x\to+\infty` a jednu pro `x\to-\infty`, dohromady tedy nejvýš dvě. Často je to jedna a táž přímka.

Asymptota bez směrnice (svislá asymptota)

Přímka `x=c` je asymptotou bez směrnice, jestliže má funkce v bodě c aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu, tedy

`\lim_{x\to c^-}f(x)=\pm\infty`
nebo
`\lim_{x\to c^+}f(x)=\pm\infty`

Svislé asymptoty se hledají v bodech, kde funkce není definovaná, nebo na okraji definičního oboru. U lomených funkcí jsou to body, kde je jmenovatel nulový (podmínky lomeného výrazu je spočítají za vás), u logaritmu `y=\ln x` je to `x=0` zprava, u tangenty body `x=\frac{\pi}{2}+k\pi`.

Příklad 1

Najděte svislé asymptoty funkce `y=\dfrac{x+1}{x^2-4}`.

Jmenovatel `x^2-4=(x-2)(x+2)` je nulový pro `x=2` a `x=-2`. V obou bodech spočítáme jednostranné limity. Stačí rozmyslet znaménka: čitatel se blíží k nenulovému číslu a jmenovatel k nule.

• Pro `x\to 2` se čitatel blíží ke 3. Zprava (`x` o kousek větší než 2) je jmenovatel malé kladné číslo, zleva malé záporné.
• Pro `x\to -2` se čitatel blíží k −1. Zleva jsou oba činitele jmenovatele záporné, takže je jmenovatel kladný, zprava je záporný.

`\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty\quad\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty`
`\lim_{x\to -2^-}f(x)=-\infty\quad\lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty`

Funkce má dvě svislé asymptoty, `x=2` a `x=-2`. Kontrola dosazením: `f(2{,}01)=\dfrac{3{,}01}{0{,}0401}\doteq 75`, hodnota je opravdu obrovská a kladná.

Pozor, ne každá nula jmenovatele dává asymptotu. Funkce `y=\dfrac{x+2}{x^2-4}` není definovaná v `x=\pm 2`, ale po zkrácení je `\dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{1}{x-2}`. V bodě `x=-2` je limita konečná, `-\frac{1}{4}`, takže tam graf nemá asymptotu, jen „díru“ (chybějící bod). Asymptota je pouze `x=2`. Proto se vždy počítá limita, nestačí najít nulu jmenovatele.

Asymptota se směrnicí (šikmá a vodorovná)

Hledáme přímku `y=ax+b`, ke které se graf blíží pro `x\to+\infty` (nebo `x\to-\infty`). Svislá vzdálenost bodu grafu od přímky je `d=f(x)-(ax+b)` a ta se má blížit k nule:

`\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0`

Vydělíme-li výraz v závorce číslem x, limita zůstane nulová. Protože `\frac{ax}{x}=a` a `\frac{b}{x}\to 0`, zbude `\lim\frac{f(x)}{x}-a=0`. Odtud plynou dva vzorce, které se používají v tomto pořadí:

`\displaystyle a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}`
`\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-ax\right]`

Asymptota se směrnicí existuje jen tehdy, když obě limity vyjdou jako konečná čísla. Vyjde-li `a=0`, je asymptota vodorovná a `b` je prostě `\lim f(x)`. Limity počítejte zvlášť pro `+\infty` a pro `-\infty`, výsledky se mohou lišit (příklad 5). Jak se takové limity počítají, vysvětluje článek Limity funkcí.

Příklad 2

Najděte asymptoty funkce `y=\dfrac{x^2+1}{x}` z obrázku nahoře.

`\displaystyle a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2+1}{x^2}=1`
`\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}\left[\frac{x^2+1}{x}-x\right]=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0`

Šikmá asymptota je `y=x`, pro obě strany stejná. Funkce není definovaná v `x=0` a limity zprava a zleva jsou `+\infty` a `-\infty`, takže další asymptota je svislá `x=0`. Kontrola: `f(10)=10{,}1`, asymptota dává 10, rozdíl je `\frac{1}{10}` a s rostoucím x dál klesá.

Příklad 3

Najděte asymptoty lineární lomené funkce `y=\dfrac{2x+1}{x-3}`.

Jmenovatel je nulový pro `x=3`, čitatel se tam blíží k 7, limita zprava je `+\infty` a zleva `-\infty`. Svislá asymptota je `x=3`. Pro asymptotu se směrnicí:

`\displaystyle a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+1}{x^2-3x}=0`
`\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+1}{x-3}=2`

Vodorovná asymptota je `y=2`. Kontrola: `f(1003)=\frac{2007}{1000}=2{,}007`. U lineární lomené funkce (graf je hyperbola) vycházejí asymptoty vždy takto, svislá z nuly jmenovatele a vodorovná jako podíl koeficientů u x. Více v článku Lineární lomená funkce, výsledek si ověříte v kalkulačce asymptoty lineární lomené funkce a procvičit můžete v procvičování asymptot.

Příklad 4

Najděte všechny asymptoty funkce `y=\dfrac{x^3+x}{x^2+x-1}`.

Nejdřív asymptota se směrnicí:

`\displaystyle a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3+x}{x^3+x^2-x}=1`
`\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}\left[\frac{x^3+x}{x^2+x-1}-x\right]`
`\displaystyle \phantom{b}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-x^2+2x}{x^2+x-1}=-1`

Šikmá asymptota je `y=x-1`. Pak svislé: jmenovatel `x^2+x-1` má kořeny

`x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}`
`x_1\doteq 0{,}62\qquad x_2\doteq -1{,}62`

V žádném z nich není nulový čitatel `x(x^2+1)`, ten má jediný kořen 0. Jednostranné limity jsou tedy nevlastní. Čitatel má znaménko x, u `x_2` je záporný a u `x_1` kladný. Jmenovatel je kladný vně intervalu `(x_2;\ x_1)` a záporný uvnitř. Vychází:

`\lim_{x\to x_2^-}f(x)=-\infty\qquad\lim_{x\to x_2^+}f(x)=+\infty`
`\lim_{x\to x_1^-}f(x)=-\infty\qquad\lim_{x\to x_1^+}f(x)=+\infty`

Funkce má tři asymptoty: `y=x-1`, `x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}` a `x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}`.

Kontrola: `f(10)=\frac{1010}{109}\doteq 9{,}27`, asymptota dává `10-1=9`. Graf leží kousek nad ní a s rostoucím x se k ní přibližuje.

Příklad 5

Najděte asymptoty funkce `y=\sqrt{x^2+1}`.

Funkce je definovaná pro všechna x a nikde neutíká do nekonečna, svislou asymptotu nemá. Pro `x\to+\infty`:

`\displaystyle a=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1`
`\displaystyle b=\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{x^2+1}-x\right]`
`\displaystyle \phantom{b}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0`

Druhá limita se spočítá rozšířením výrazem `\sqrt{x^2+1}+x`. Pro `x\to-\infty` je ale x záporné, a tak `\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\to-1`. Podobně vyjde `b=\lim\,[\sqrt{x^2+1}+x]=0`. Vpravo je asymptota `y=x`, vlevo `y=-x`. Kdo by počítal jen s `+\infty`, polovinu výsledku ztratí.

Rychlá cesta u lomených funkcí

Je-li funkce podílem dvou mnohočlenů `\frac{P(x)}{Q(x)}`, rozhoduje o asymptotě se směrnicí jen porovnání stupňů čitatele a jmenovatele:

Šikmou asymptotu dá rovnou dělení mnohočlenů. V příkladu 4:

`(x^3+x):(x^2+x-1)=x-1\ \text{zbytek}\ 3x-1`
`\displaystyle f(x)=x-1+\frac{3x-1}{x^2+x-1}`

Zlomek se zbytkem se pro `x\to\pm\infty` blíží k nule, takže asymptota je podíl `y=x-1`, stejně jako vyšlo z limit. Dělení s postupem spočítá kalkulačka dělení mnohočlenu mnohočlenem, podrobně ho vysvětluje článek Dělení mnohočlenů. Tahle zkratka platí jen pro lomené funkce. U odmocnin, exponenciál a logaritmů se počítá přes limity.

Časté chyby

• Každá nula jmenovatele je asymptota. Není, pokud se nula v čitateli i jmenovateli zkrátí. Tam je díra v grafu, ne asymptota (příklad 1).
• Graf asymptotu nikdy neprotne. Vodorovnou nebo šikmou asymptotu protnout může, i vícekrát. Funkce `y=\dfrac{2x^2+x}{x^2+1}` protne svou asymptotu `y=2` v bodě [2; 2].
• Počítat jen pro `x\to+\infty`. Pro `-\infty` může vyjít jiná přímka (příklad 5), nebo žádná. Třeba `y=e^x` má asymptotu `y=0` jen pro `x\to-\infty`.
• Dosadit do b špatné a. b se počítá až s nalezeným a. Vyjde-li a nekonečné nebo limita neexistuje, asymptota se směrnicí není a b se už nepočítá.
• Zapomenout na jednostranné limity. U svislé asymptoty stačí jedna nevlastní jednostranná limita. U `y=\ln x` existuje jen limita zprava, `-\infty`, a `x=0` asymptota je.

Příklady k procvičení

Kam dál

Asymptoty lineární lomené funkce si procvičte v procvičování asymptot, výsledek si ověříte v kalkulačce asymptoty lineární lomené funkce. Body, kde lomená funkce není definovaná, najde kalkulačka podmínky lomeného výrazu, šikmou asymptotu kalkulačka dělení mnohočlenů.

Na asymptoty navazují a s nimi souvisí články Limity funkcí, Definiční obor, Lineární lomená funkce a Průběh funkce - hledání extrémů, kde jsou asymptoty jedním z kroků vyšetřování průběhu funkce.