navtype_mat_bez.gif

Aritmetická posloupnost a aritmetická řada

Vydáno dne 24.01.2011 17:34:09 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 10499;

Vysvětlíme si pojem aritmetická posloupnost a aritmetická řada a naučíme se s nimi pracovat.


Aritmetická posloupnost je posloupnost čísel, ve které je mezi každým členem a jeho následovníkem nenulový konstantní rozdíl. Tento rozdíl značíme obvykle d a nazýváme ho diference. 

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 53, 70, ...

Předchozí posloupnost je aritmetická, protože rozdíl dvou sousedících členů je d=7.

Předpis pro aritmetickou posloupnost by tedy mohl vypadat takto: 

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ..., a+nd
  • Rekurentní zadání: a_n=a_{n-1}+d
  • Vyjádření n-tého členu: a_n=a_1+(n-1)\cdot d
  • Vyjádření s-tého členu pomocí r-tého: a_s=a_r+(s-r)d

1) Určete pátý člen posloupnosti, jestliže a_1=0,\ d=2.

V tomto příkladě nejde o nic jiného než o pouhé dosazení do vzorce pro vyjádření n-tého členu. 

a_n=a_1+(n-1)\cdot d\\a_5=a_1+(5-1)\cdot d\\a_5=0+4\cdot2\\\fbox{a_5=8}

2) Určete a_5, jestliže víte, že a_{10}=10 a a_{13}=16



Tento příklad lze spočítat vzorečkem pro vyjádření s-tého členu pomocí r-tého: a_s=a_r+(s-r)d

\begin{array}{rcl}a_{13}&=&a_{10}+(s-r)d\\16&=&10+3\cdot d\\d&=&2\end{array}

Nalezli jsme diferenci aritmetické posloupnosti. Nic nám nebrání v tom, použít znova předchozí vzoreček pro nalezení pátého členu.

\begin{array}{rcl}a_s&=&a_r+(s-r)d\\a_{5}&=&a_{10}+(5-10)2\\a_5&=&0\end{array}

Aritmetická posloupnost

Pokud není aritmetická posloupnost konstantní (tedy d\ne0), je aritmetická posloupnost vždy divergentní.

  • Pro d > 0: Posloupnost je zdola omezená, rostoucí a \lim\limits_{n\to\infty}\ a_n=\infty
  • Pro d < 0: Posloupnost je shora omezená, klesající a \lim\limits_{n\to\infty}\ a_n=-\infty

Speciální případ je d = 0. V takovém případě je aritmetická posloupnost omezená a konstantní

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti se označuje jako aritmetická řada.

Pro aritmetickou řadu platí podobné vlastnosti jako pro aritmetickou posloupnost. Pro d\ne0,\ n\to\pm\infty je aritmetická řada divergentní.

My ale ovšem můžeme chtít spočítat součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti. 

S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)

3) Určete S_{15}, platí-li a_1=10,\ d=2.

Stačí najít a_{15} a můžeme dosadit do předchozího vzorečku.

a_{15}=a_1+(n-1)d\\a_{15}=10+14\cdot2\\a_{15}=38

Můžeme dosazovat:

\begin{array}{rcl}S_n&=&\frac{n}{2}(a_1+a_n)\\S_{15}&=&\frac{n}{2}(a_1+a_{15})\\S_{15}&=&\frac{15}{2}(10+38)=360\end{array}

4) Stavíte střechu a víte, že v první řadě bude jedna taška, v každé další bude o jednu víc. Celkem bude potřeba 10 řad. Kolik bude potřeba tašek?



Jedná se o příklad na aritmetickou řadu.

  • a_1=1
  • d=1
a_{10}=a_1+(n-1)d\\a_{10}=10\\S_{10}=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\\S_{10}=55


Zkuste odpovědět na následující otázku:

Určete plochu ohraničenou křivkami y=|x| a y=2x^2-1.

\frac{2\sqrt{2}}{3}

-2

\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1)

\frac{5}{3}





Jakub Vojáček



Komentáře: